Question

如图，已知∠x0y=90°，线段AB=10，若点A在oy上滑动，点B随着线段AB在射线ox上滑动，（A、B与O不重合），Rt△AOB的内切⊙K分别与OA、OB、AB切于E、F、P．
（1）在上述变化过程中：Rt△AOB的周长，⊙K的半径，△AOB外接圆半径，这几个量中不会发生变化的是什么？并简要说明理由；
（2）当AE=4时，求⊙K的半径r．

Answer 1

分析：（1）根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，AB的长不变，即△AOB的外接圆半径不变；
（2）设⊙K的半径为r，连EK、KF，则四边形EOFK是正方形，根据切线长定理，可求得r；

解答：解：（1）不会发生变化的是△AOB的外接圆半径．理由如下：
∵∠AOB=90°，
∴AB是△AOB的外接圆的直径，
AB的长不变，即△AOB的外接圆半径不变；

（2）设⊙K的半径为r，⊙K与Rt△AOB相切于E、F、P，连EK、KF
∴∠KEO=∠OFK=∠O=90°，
∴四边形EOFK是矩形，
又∵OE=OF
∴四边形EOFK是正方形，
∴OE=OF=r，AE=AP=4，
∴PB=BF=6，
∴（4+r）²+（6+r）²=100，
∴r=-12（不符合题意），r=2．

点评：本题是一道中考压轴题，考查了二次函数与三角形的内切圆、外接圆的综合题，难度偏大．