Question

在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）经过变换τ得到点P′（x′，y′），该变换记作τ（x，y）=（x′，y′），其中（a，b为常数）．例如，当a=1，且b=1时，τ（-2，3）=（1，-5）．
（1）当a=1，且b=-2时，τ（0，1）=______；
（2）若τ（1，2）=（0，-2），则a=______，b=______；
（3）设点P（x，y）是直线y=2x上的任意一点，点P经过变换τ得到点P′（x′，y′）．若点P与点P′重合，求a和b的值．

Answer 1

解：（1）当a=1，且b=-2时，x′=1×0+（-2）×1=-2，y′=1×0-（-2）×1=2，
则τ（0，1）=（-2，2）；

（2）∵τ（1，2）=（0，-2），
∴，
解得a=-1，b=；

（3）∵点P（x，y）经过变换τ得到的对应点P'（x'，y'）与点P重合，
∴τ（x，y）=（x，y）．
∵点P（x，y）在直线y=2x上，
∴τ（x，2x）=（x，2x）．
∴，
即
∵x为任意的实数，
∴，
解得．
∴，．
故答案为：（-2，2）；-1，．
分析：（1）将a=1，b=-2，τ（0，1），代入，可求x′，y′的值，从而求解；
（2）将τ（1，2）=（0，-2），代入，可得关于a，b的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（3）由点P（x，y）经过变换τ得到的对应点P'（x'，y'）与点P重合，可得τ（x，y）=（x，y）．根据点P（x，y）在直线y=2x上，可得关于a，b的二元一次方程组，解方程组即可求解．
点评：考查了一次函数综合题，关键是对题意的理解能力，具有较强的代数变换能力，要求学生熟练掌握解二元一次方程组．