Question

（2013•襄阳）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．
（1）求证：DP∥AB；
（2）若AC=6，BC=8，求线段PD的长．

Answer 1

分析：（1）连结OD，由AB为⊙O的直径，根据圆周角定理得AB为⊙O的直径得∠ACB=90°，再由ACD=∠BCD=45°，则∠DAB=∠ABD=45°，所以△DAB为等腰直角三角形，所以DO⊥AB，根据切线的性质得OD⊥PD，于是可得到DP∥AB；
（2）先根据勾股定理计算出AB=10，由于△DAB为等腰直角三角形，可得到AD=

AB

2

=5

2

；由△ACE为等腰直角三角形，得到AE=CE=

AC

2

=3

2

，在Rt△AED中利用勾股定理计算出DE=4

2

，则CD=7

2

，易证得∴△PDA∽△PCD，得到

PD

PC

=

PA

PD

=

AD

CD

=

5 2

7 2

，所以PA=

5

7

PD，PC=

7

5

PD，然后利用PC=PA+AC可计算出PD．

解答：（1）证明：连结OD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠DAB=∠ABD=45°，
∴△DAB为等腰直角三角形，
∴DO⊥AB，
∵PD为⊙O的切线，
∴OD⊥PD，
∴DP∥AB；

（2）解：在Rt△ACB中，AB=

AC2+BC2

=10，
∵△DAB为等腰直角三角形，
∴AD=

AB

2

=

10

2

=5

2

，
∵AE⊥CD，
∴△ACE为等腰直角三角形，
∴AE=CE=

AC

2

=

6

2

=3

2

，
在Rt△AED中，DE=

AD2-AE2

=

(5 2 )2-(3 2 )2

=4

2

，
∴CD=CE+DE=3

2

+4

2

=7

2

，
∵∠PDA=∠PCD，∠P=∠P，
∴△PDA∽△PCD，
∴

PD

PC

=

PA

PD

=

AD

CD

=

5 2

7 2

，
∴PA=

5

7

PD，PC=

7

5

PD，
而PC=PA+AC，
∴

5

7

PD+6=

7

5

PD，
∴PD=

35

4

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了圆周角定理定理、等腰直角三角形的性质和三角形相似的判定与性质．