Question

20．在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，⊙M是△ABC的外接圆．
如图1，若抛物线的顶点D的坐标为（1，4）
（1）求抛物线的解析式，及A、B、C三点的坐标；
（2）求⊙M的半径和圆心M的坐标．
（3）如图2，在x轴上有点P（7，0），试在直线BC上找点Q，使B、Q、P三点构成的三角形与△ABC相似．若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
（4）向上平移抛物线y=-x²+bx+c，在平移过程中，抛物线与x轴交于A′、B′两点，与y轴交于点C′，则△A′B′C′的外接圆⊙M′是否经过一个定点？若是，请求出这个点的坐标；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由顶点坐标公式直接求出b、c的值；
（2）由于△ABC的三边长易求，面积可知，于联想到希帕霍斯公式S=$\frac{abc}{4R}$，从而直接求出外接圆半径，进而求出圆心M的坐标；
（3）分两种情况：①则△ACB∽△PQB；②△ACB∽△QPB．对于第一种情况，过P作AC的平行线即可得Q点，对于第二种情况，A、C、P、Q四点共圆，由相交弦定理求出BQ的长度，然后求出Q点坐标．
（4）抛物线的上下平移只改变截距，故设出平移后的抛物线解析式的截距，然后可表示出A'，B'，C'的坐标，设外接圆与y轴的负半轴交于点E，由相交弦定理求出OE长度为定值，即E点就是所求定点．

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c的顶点D的坐标为（1，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-b}{-2}=1}\\{\frac{-4c-{b}^{2}}{-4}=4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-x²+2x+3=-（x+1）（x-3），
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，3）；
（2）连接BC和MB，作MH⊥AB于H，如图1，

则AB=3-（-1）=4，OC=3，AC=$\sqrt{10}$，BC=3$\sqrt{2}$，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}AB•OC=6$，
设AB=c，BC=a，AC=b，⊙M的半径为R，则由希帕霍斯定理可知：
${S}_{△ABC}=\frac{abc}{4R}$，
∴R=$\frac{abc}{4{S}_{△ABC}}$=$\sqrt{5}$，
∴MB=R=$\sqrt{5}$，
∵MH⊥AB，
∴BH=AH=$\frac{1}{2}AB$=2，
∴MH=$\sqrt{M{B}^{2}-B{H}^{2}}$=1，
∴M（1，1）；
（3）①过点P作PQ₁∥AC交CB的延长线于点Q1，如图2，

则△ACB∽△PQ₁B，
由A、C两点坐标可求得直线AC的解析式为y=3x+3，
设直线PQ₁的解析式为y=3x+m，
将P点坐标（7，0）代入可求得m=-21，
∴PQ₁的解析式为y=3x-21，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-21}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴Q₁（6，-3）；
②作∠BPQ₂=∠ACB交CB的延长线于点Q₂，则：
△ACB∽△Q₂PB，且A、C、P、Q₂四点共圆，
由相交弦定理可知：AB•BP=CB•BQ₂，
∵AB=4，BC=3$\sqrt{2}$，BP=4，
∴BQ₂=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，
作Q₂N⊥BP于N，
∵OC=OB，
∴BN=NQ₂=$\frac{8}{3}$，
∴ON=OB+BN=$\frac{17}{3}$，
∴Q₂（$\frac{17}{3}$，-$\frac{8}{3}$），
综上所述，满足要求的Q点坐标为Q₁（6，-3），Q₂（$\frac{17}{3}$，-$\frac{8}{3}$）；
（4）设平移后的抛物线解析式为y=-x²+2x+n，（n＞3），则C'（0，n），
令-x²+2x+n=0，则x=$1±\sqrt{1+n}$，
∴A'（1-$\sqrt{1+n}$），B'（1+$\sqrt{1+n}$），
设△A′B′C′的外接圆⊙M′与y轴的负半轴的交点为E（0，h），
由相交弦定理可知：OC'•OE=OA'•OB'，
∴OE=$\frac{OA'•OB'}{OC'}$=$\frac{（\sqrt{1+n}-1）（\sqrt{1+n}+1）}{n}$=1，
∴E（0，-1），
∴△A′B′C′的外接圆⊙M′始终经过一个定点E（0，-1）．

点评 本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数与一次函数的解析式、等面积法、希帕霍斯公式、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、相交弦定理、解二元一次方程组、解一元二次方程等众多知识点，综合性强，难度较大，是一道经典中考压轴题．对于（2）问，利用希帕霍斯定理求出外接圆半径是关键，对于（3）问，分类讨论及相交弦定理的应用是解答要点，对于（4）问，利用相交弦定理计算出外接圆与y轴负半轴的交点是难点所在．