Question

如图，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（6，0），直线AB交抛物线的对称轴于点F，直线AC交抛物线对称轴于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：点E与点F关于顶点D对称；
（3）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似？若有，请求出所有合条件的点P的坐标；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据点B、C的坐标设抛物线解析式为y=a（x-2）（x-6），把点A坐标代入求解得到a的值，即可得到函数解析式；
（2）根据抛物线解析式确定出对称轴与顶点坐标，利用待定系数法求出直线AB、AC的解析式，然后求出点E、F的坐标，即可得证；
（3）根据点A、B、C、D、F的坐标求出AF、FD、FC的长度，再利用正切函数确定出∠BAO=∠CFD，然后利用两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似分两种情况列出比例式求出AP的长度，再求出OP的长度，即可得到点P的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线过点B（2，0），C（6，0），
∴设抛物线解析式为y=a（x-2）（x-6），
又∵抛物线经过点A（0，6），
∴a（0-2）（0-6）=6，
解得a=

1

2

，
所以，抛物线解析式为y=

1

2

（x-2）（x-6），
即y=

1

2

x²-4x+6；

（2）证明：∵y=

1

2

x²-4x+6=

1

2

（x²-8x+16）-2=

1

2

（x-4）²-2，
∴抛物线对称轴为直线x=4，顶点坐标为D（4，-2），
设直线AC解析式为y=kx+b，
则

b=6 6k+b=0

，
解得

k=-1 b=6

，
所以，直线AC的解析式为y=-x+6，
当x=4时，y=-4+6=2，
所以，点E（4，2），
所以，DE=2-（-2）=4，
设直线AB解析式为y=ex+f，
则

f=6 2e+f=0

，
解得

e=-3 f=6

，
所以，直线AB的解析式为y=-3x+6，
当x=4时，y=-3×4+6=-6，
所以，点F（4，-6），
所以，DF=-2-（-6）=4，
所以，DE=DF，
故，点E与点F关于顶点D对称；

（3）解：∵A（0，6），B（2，0），C（6，0），D（4，-2），F（4，-6），
∴AF=

(6+6)2+42

=4

10

，FD=-2-（-6）=4，FC=

62+(6-4)2

=2

10

，
∵tan∠BAO=

OB

OA

=

2

6

=

1

3

，tan∠CFD=

6-4

6

=

1

3

，
∴∠BAO=∠CFD，
①当AP与FD是对应边时，∵△AFP∽△FCD，
∴

AP

FD

=

AF

FC

，
即

AP

4

=

4 10

2 10

，
解得AP=8，
所以，OP=8-6=2，
此时，点P的坐标为（0，-2）；
②当AP与FC是对应边时，∵△AFP∽△FDC，
∴

AP

FC

=

AF

FD

，
即

AP

2 10

=

4 10

4

，
解得AP=20，
所以，OP=20-6=14，
此时，点P的坐标为（0，-14），
综上所述，存在点P（0，-2），（0，-14），使△AFP与△FDC相似．

点评：本题是二次函数综合题型，主要涉及待定系数法求函数解析式（包括二次函数解析式，直线解析式），两点间的距离公式，相似三角形对应边成比例的性质，（1）用交点式解析式求解比较简单，（3）先利用锐角的正切值相等判断出∠BAO=∠CFD是解题的关键．