Question

已知：如图，⊙O₁与⊙O₂相交，⊙O₁的弦AB交⊙O₂于点C、D，O₁O₂⊥AB，垂足为F，过B作⊙O₂的切线BE，切点为E，连接EC、DE，若BE=DE，∠BED=30°，AC、CE的长是方程x²-10x+16=0的两个根（AC＜CE）．
（1）求证：BC=EC；
（2）求⊙O₂的半径．

Answer 1

（1）证明：∵∠BED=30°，BE=DE，
∴∠BDE=∠EBD=75°．
∵BE是⊙O₂的切线，
∴∠BCE=∠BED=30°．
∴在△BCE中
∠CEB=180°-30°-75°=75°，
∴∠CEB=∠BEC．
∴BC=EC．

（2）解：∵AC、CE的长是方程x²-10x+16=0的两个根且AC＜CE，
∴x₁=2=AC，x₂=8=CE，
∵O₁O₂⊥AB于F，AB是⊙O₁的弦，
∴AF=BF；
∵CD是⊙O₂的弦，
∴CF=DF，
∴BD=AC=2；
∵BC=CE，
∴BC=CE=8，
∵BE是⊙O₂的切线，
∴BE²=BD•BC=8×2=16，
∴BE=4，DE=4；
连接O₂E、O₂D，则BE⊥O₂E，
∵∠BED=30°，
∴∠DEO₂=60°，
∵O₂D=O₂E，
∴△DEO₂为正三角形，
∴O₂E=DE=4．
分析：（1）根据线切角等于它所夹弧所对的圆周角，得到∠BCE=∠BED，再根据BE=DE，∠BED=30°，得到∠CEB=75°，∠BEC=75°，即可得BC=EC；
（2）先由AC、CE的长是方程x²-10x+16=0的两个根（AC＜CE），求出AC、CE的长，再由O₁O₂⊥AB，根据垂径定理得到AF=BF，CE=DE，从而可得BD=AC，根据切割线定理求出DE的长，由于BE是圆的切线且∠BED=30°，判断出△DEO₂为正三角形，进而求出⊙O₂的半径．
点评：此题将两圆相交的条件以及和两圆相关的线段和角巧妙地结合起来，使之成为一个有机的整体，要充分利用它们之间的关系．