Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B（2，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，8）．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）若将该抛物线向下平移m个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；
（3）已知点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把点B和点C的坐标代入抛物线的解析式得： ，解得： ，

∴y=﹣x2﹣2x+8．

（2）

解：y=﹣x2﹣2x+8=﹣（x+1）2+9，

∴平移后抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+9﹣m．

∵抛物线的对称轴为x=﹣1，点B（2，0），

∴A（﹣4，0）．

设直线AC的解析式为y=kx+8，将点A的坐标代入得：﹣4k+8=0，解得k=2，

∴直线AC解析式为y=2x+8．

当x=﹣1时，y=6．

∵抛物线的顶点落在△ABC的内部，

∴0＜9﹣m＜6．

∴3＜m＜9．

（3）

解：设点Q的坐标为（a，0），点P（x，y）．

①当AC为对角线时．

∵四边形APCQ为平行四边形，

∴AC与PQ互相平分．

依据中点坐标公式可知： = ， = ．

∴x=﹣4﹣a，y=8．

∵点P在抛物线上，

∴﹣（a+4）2﹣2（﹣4﹣a）=0，解得：a=﹣2或a=﹣4（舍去）

∴点P的坐标为（﹣2，0）．

②当CP为对角线时，

∵四边形APCQ为平行四边形，

∴CP与AQ互相平分．

依据中点坐标公式可知： = ， = ，

∴x=a+4，y=8．

∵点P在抛物线上，

∴﹣（a+4）2﹣2（a+4）=0，解得：a=﹣6或a=﹣4（舍去）

∴点P的坐标为（﹣6，0）．

③AQ为对角线时．

∵四边形APCQ为平行四边形，

∴AQ与CP互相平分．

依据中点坐标公式可知： = ， = ，

∴x=﹣4+a，y=﹣8．

∵点P在抛物线上，

∴﹣（a﹣4）2﹣2（a﹣4）+16=0，整理得：a2﹣6a﹣8=0，解得：a=3+ 或a=3﹣ ．

∴点Q的坐标为（3+ ，0）或（3﹣ ，0）．

综上所述满足条件的点Q为（﹣2，0）或（﹣6，0）或（3+ ，0）或（3﹣ ，0）．

【解析】（1）把点B和点C的坐标代入抛物线的解析式得到关于b、c的方程组，从而可求得b、c的值，然后可得到抛物线的解析式；（2）平移后抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+9﹣m，然后求得直线AC的解析式y=2x+8，当x=﹣1时，y=6，最后由抛物线的顶点在△ABC的内部可得到0＜9﹣m＜6，从而可求得m的取值范围；（3）设点Q的坐标为（a，0），点P（x，y）．分为AC为对角线、CP为对角线、AQ为对角线三种情况，依据平行四边形对角相互平分的性质和中点坐标公式可求得x、y的值（用a的式子表示），然后将点P的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值，从而可得到点Q的坐标．
【考点精析】利用二次函数的图象和二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．