Question

（2012•常州）在平面直角坐标系xOy中，已知动点P在正比例函数y=x的图象上，点P的横坐标为m（m＞0），以点P为圆心，

5

m为半径的圆交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C、D两点（点D在点C的上方）．点E为平行四边形DOPE的顶点（如图）．
（1）写出点B、E的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）连接DB、BE，设△BDE的外接圆交y轴于点Q（点Q异于点D），连接EQ、BQ，试问线段BQ与线段EQ的长是否相等？为什么？
（3）连接BC，求∠DBC-∠DBE的度数．

Answer 1

分析：（1）如图①所示，过点P作PM⊥x轴于点M，构造直角三角形，利用垂径定理与勾股定理求出点B的坐标；同理可求得点D的坐标，过点D作DR⊥PE于点R，则△EDR为等腰直角三角形，从而求出点E的坐标；
（2）如图②所示，首先推出△BDE为直角三角形，由圆周角定理可知，BE为△BDE外接圆的直径，因此∠BQE=90°；然后证明Rt△EQK∽Rt△QBO，通过计算线段之间的比例关系，可以得到这两个三角形全等，所以BQ=EQ；
（3）如图②所示，本问要点是证明Rt△BDE∽Rt△BOC，得到∠OBC=∠DBE，进而计算可得∠DBC-∠DBE=45°．

解答：解：（1）如图①，连接PB，过点P作PM⊥x轴于点M．
由题意可知，OM=PM=m，PB=

5

m．
在Rt△PBM中，由勾股定理得：
BM=

PB2-PM2

=

( 5 m)2-m2

=2m，
∴OB=OM+BM=m+2m=3m，
∴B（3m，0）；
连接PD，过点P作PN⊥y轴于点N，同理可求得DN=2m，OD=3m．
过点D作DR⊥PE于点R，
∵平行四边形DOPE，∴∠ODE+∠DOP=180°；
由题意可知，∠DOP=45°，∴∠ODE=135°，
∴∠EDR=45°，即△EDR为等腰直角三角形，
∴ER=DR=OM=m，EM=ER+RM=ER+OD=m+3m=4m，
∴E（m，4m）．

（2）相等．理由如下：
依题意画出图形，如图②所示．
由（1）知，∠ODE=∠BDO+∠BDE=135°，
又OB=OD=3m，即△OBD为等腰直角三角形，∴∠BDO=45°，
∴∠BDE=90°，即△BDE为直角三角形．
由圆周角定理可知，BE为△BDE外接圆的直径，∴∠BQE=90°．
过点E作EK⊥y轴于点K，则有EK=m，OK=4m．
∵∠BQE=90°，∴∠EQK+∠BQO=90°，又∠BQO+∠QBO=90°，
∴∠EQK=∠QBO．
∴Rt△EQK∽Rt△QBO，
∴

EK

OQ

=

QK

OB

，即

m

OQ

=

4m-OQ

3m

，解得OQ=m或OQ=3m，
∵点Q与点D不重合，∴OQ=m，
∴OQ=EK，即相似比为1，此时两个三角形全等，
∴BQ=EQ．

（3）如图②所示，连接BC．
由（1）可知，如图①，CD=2DN=4m，∴OC=CD-OD=m．
由（2）可知，△BDE为直角三角形，△EDK与△BDO均为等腰直角三角形，
∴DE=

2

EK=

2

m，BD=

2

OB=3

2

m．
在Rt△BDE与Rt△BOC中，OC=m，OB=3m，DE=

2

m，BD=3

2

m，
∴

DE

OC

=

BD

OB

，∴Rt△BDE∽Rt△BOC，
∴∠OBC=∠DBE，
∴∠DBC-∠DBE=（∠OBD+∠OBC）-∠DBE=∠OBD=45°．

点评：本题综合考查了平面几何图形的若干重要性质，包括圆的垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形、平行四边形等，涉及考点较多，有一定的难度．另外需要注意解题方法多样，例如：第（1）问中求点E坐标也可采用代数方法解决，点E是直线DE（y=x+3m）与直线PE（x=m）的交点；第（3）问中也可以由三角函数tan∠OBC=tan∠DBE直接得到∠OBC=∠DBE．