Question

（2013•吴江市模拟）如图，已知直线l₁∥l₂∥l₃∥l₄∥l₅，相邻两条平行直线间的距离相等且为1，如果四边形ABCD的四个顶点在平行直线上，∠BAD=90°且AB=3AD，DC⊥l₄，则四边形ABCD的面积是（　　）

• A．9
• B．14
• C．

  21

  3

• D．

  51

  6

Answer 1

分析：首先延长DC交l₅于点F，延长CD交l₁于点E，作点B作BH⊥l₁于点H，连接BD，易证得△BAH∽△ADE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AH，AE的长，由勾股定理求得AD与AB的长，然后由S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD，即可求得答案．

解答：解：延长DC交l₅于点F，延长CD交l₁于点E，作点B作BH⊥l₁于点H，连接BD，
∵DC⊥l₄，l₁∥l₂∥l₃∥l₄∥l₅，
∴DC⊥l₁，DC⊥l₅，
∴∠BHA=∠DEA=90°，
∴∠ABH+∠BAH=90°，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAH+∠DAE=90°，
∴∠ABH=∠DAE，
∴△BAH∽△ADE，
∴

AB

AD

=

BH

AE

=

AH

DE

，
∵AB=3AD，BH=4，DE=1，
∴AE=

4

3

，AH=3，
∴BF=HE=AH+AE=3+

4

3

=

13

3

，
在Rt△ADE中，AD=

AE2+DE2

=

( 4 3 )2+12

=

5

3

，
∴AB=3AD=5，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD=

1

2

AB•AD+

1

2

CD•BF=

1

2

×5×

5

3

+

1

2

×2×

13

3

=

51

6

．
故选D．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质、勾股定理以及四边形的面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．