Question

已知：有一个△ABC，且BC=2，AC=，AB=1；将它放置于平面直角坐标系中；使BC在横轴上，顶点A在反比例函数y=的图象上，试探求C点的坐标．

Answer 1

解：∵△ABC中，BC=2，AC=，AB=1，
∴∠A=90°，∠ABC=60°．

①当点A在第一象限时，如上图，
过点A作AD⊥x轴于D．
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABC=60°，AB=1，
∴BD=，AD=，
∵点A在反比例函数y=上，
∴当y=时，x=2，
∴A（2，），
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，AD=，
∴CD=，
∴OC=OD-CD=2-=，
∴点C的坐标为（，0）；
②
当点A在第一象限时，如上图，
过点A作AD⊥x轴于D．
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABC=60°，AB=1，
∴BD=，AD=，
∵点A在反比例函数y=上，
∴当y=时，x=2，∴A（2，），
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，AD=，
∴CD=，
∴OC=OD+CD=2+=，
∴点C的坐标为（ ，0）；
③
当点A在第三象限时，如上图，
过点A作AD⊥x轴于D．
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABC=60°，AB=1，
∴BD=，AD=，
∵点A在反比例函数y=上，
∴当y=-时，x=-2，
∴A（-2，-），
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，AD=，
∴CD=，
∴OC=OD-CD=2-=，
∴点C的坐标为（-，0）；
④
当点A在第三象限时，如上图，
过点A作AD⊥x轴于D．
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABC=60°，AB=1，
∴BD=，AD=，
∵点A在反比例函数y=上，
∴当y=-时，x=-2，
∴A（-2，-），
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，AD=，
∴CD=，
∴OC=OD+CD=2+=，
∴点C的坐标为（-，0）．
综上，可知点C的坐标为（，0）或（-，0）或（，0）或（-，0）．
分析：由于反比例函数的图象是双曲线，点A可能在第一象限，也可能在第三象限，又因为斜边BC在x轴上，所以可能点B在点C的右边，也可能点B在点C的左边，故一共分四种情况．针对每一种情况，都可以运用三角函数的定义求出点C的坐标．
点评：本题考查反比例函数的综合运用以及30°角的直角三角形的性质，本题的关键是看到C的位置有4种不同的情况．