Question

25、已知：n是正整数，a＞b，ab＜0．
（Ⅰ）试判断a²ⁿbⁿ⁺¹是正数还是负数？为什么？
（Ⅱ）用|a|和|b|表示-a+b；
（Ⅲ）若a＜|b|，用|a|和|b|表示a+b．

Answer 1

分析：（I）因为ab＜0，所以a、b异号．因为a＞b，所以a＞0，b＜0，再根据n是正整数，所以a²ⁿ为正数，再分当n是正奇数时和当n是正偶数时两种情况讨论即可；
（II）由a＞0知-a＜0．所以-a与b同为负数．从而断定-a+b=-（|a|+|b|）=-|a|-|b|；
（III）当a＜|b|时，则a+b=-（|b|-|a|）=-|b|+|a|．

解答：解：（Ⅰ）因为ab＜0，
所以a、b异号．
因为a＞b，
所以a＞0，b＜0．
因为n是正整数，所以a²ⁿ为正数．
当n是正奇数时，bⁿ⁺¹为正数，所以a²ⁿbⁿ⁺¹是正数；
当n是正偶数时，bⁿ⁺¹为负数，所以a²ⁿbⁿ⁺¹是负数；

（Ⅱ）由a＞0知-a＜0．
所以-a与b同为负数．
所以-a+b=-（|a|+|b|）=-|a|-|b|；

（Ⅲ）当a＜|b|时，
则a+b=-（|b|-|a|）=-|b|+|a|．

点评：本题考查了有理数的乘方和绝对值的知识，解题的关键是分类讨论，此题难度适中．