Question

14、已知：n是正整数，a₁，a₂，…，a_n是整数，且a₁•a₂•…•a_n=n（1），a₁+a₂+…+a_n=0（2）．
（Ⅰ）例如n=8，a₁=2，a₂=4，a₃=a₄=…=a₈=-1时，它们满足条件（1）（2），
当n=12，16，4k时，请分别写出12、16、4k个整数，使它们满足条件（1）（2）；
（Ⅱ）小王同学在探究中发现：a₁，a₂，…，a_n这n个数中，偶数至少有2个．你认为小王发现的结论正确吗？为什么？

Answer 1

分析：（1）答案不唯一，只要写出的数值同时满足两个条件即可；
（2）当n是奇数时，a₁+a₂++a_n=0是奇数个奇数的和，不可能为0，所以n必为偶数，若a₁，a₂，，a_n中只有一个偶数，根据奇数与偶数的和是奇数，可以得出矛盾，而有两个偶数时可以，即可证明．

解答：解：（1）答案不唯一，如
n=12时，2，-6，7个1，3个-1；
n=16时，-2，-8，12个1，2个-1．
n=4k时，2，-2k，（3k-2）个1，k个-1，其中k为奇数
或-2，-2k，3k个1，（k-2）个-1，其中k为偶数各；（2分）

（2）a₁•a₂••a_n=n，（1）a₁+a₂++a_n=0．（2）
如果n是奇数，那么由（1）可知a₁，a₂，，a_n都为整数，
于是a₁+a₂++a_n=0是奇数个奇数的和，
不可能为0，所以n必为偶数，
从而a₁，a₂，，a_n中至少有一个是偶数；
又若a₁，a₂，，a_n中只有一个偶数，
不妨设为a₁，a₂，，a_n，则a₁+a₂++a_n=0是奇数（n-1）个奇数的和，
故必有奇数，从而a₁+a₂++a_n=0是奇数，与（2）矛盾．
故a₁，a₂，，a_n中至少有两个偶数．

点评：本题主要考查了奇数与偶数的性质，奇数个奇数的和不可能是0，而奇数与偶数的和一定是奇数．