Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线与AC，AB的交点分别为D，E．
（1）若AD=15，cos∠BDC=

4

5

，求AC的长和tanA的值；
（2）设∠BDC=α，计算tan

α

2

的值．（用sinα和cosα的式子表示）

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：计算题

分析：（1）由线段垂直平分线的性质得DB=DA=15，再根据余弦的定义得到cos∠BDC=

DC

DB

=

4

5

，则DC=12，根据勾股定理可计算出BC=9，然后在Rt△ACB中，根据正切的定义求解；
（2）设AD=t，则DB=t，根据正、余弦的定义得到DC=t•cosα，BC=t•sinα，再根据正切的定义tanA=

BC

AC

=

sinα

sinα+cosα

，然后证明∠A=

α

2

即可．

解答：解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴DB=DA=15，
在Rt△DCB中，cos∠BDC=

DC

DB

=

4

5

，
∴

DC

15

=

4

5

，
∴DC=12，
∴BC=

BD2-DC2

=9，
在Rt△ACB中，AC=AD+CD=27，
∴tanA=

BC

AC

=

9

27

=

1

3

；
（2）设AD=t，则DB=t，
在Rt△DCB中，
∵cos∠BDC=

DC

DB

，sin∠BDC=

BC

BD

，
∴DC=t•cosα，BC=t•sinα，
在Rt△ACB中，AC=AD+DC=t（sinα+cosα），
∴tanA=

BC

AC

=

t•sinα

t(sinα+cosα)

=

sinα

sinα+cosα

，
∵AD=DB，
∴∠A=∠DBA，
∴∠BDC=∠A+∠DBA=2∠A，
∴∠A=

α

2

，
∴tan

α

2

=

sinα

sinα+cosα

．

点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了线段垂直平分线的性质．