Question

已知关于x的方程x²+（3k-2）x-6k=0，
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边a=6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

Answer 1

分析：（1）计算方程的根的判别式，若△=b²-4ac≥0，则证明方程总有实数根；
（2）已知a=6，则a可能是底，也可能是腰，分两种情况求得b，c的值后，再求出△ABC的周长．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．

解答：（1）证明：∵△=b²-4ac=（3k-2）²-4•（-6k）=9k²-12k+4+24k=9k²+12k+4=（3k+2）²≥0
∴无论k取何值，方程总有实数根．
（2）解：①若a=6为底边，则b，c为腰长，则b=c，则△=0．
∴（3k+2）²=0，解得：k=-

2

3

．
此时原方程化为x²-4x+4=0
∴x₁=x₂=2，即b=c=2．
此时△ABC三边为6，2，2不能构成三角形，故舍去；
②若a=b为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b=a=6
代入方程：6²+6（3k-2）-6k=0
∴k=-2
则原方程化为x²-8x+12=0
（x-2）（x-6）=0
∴x₁=2，x₂=6
即b=6，c=2
此时△ABC三边为6，6，2能构成三角形，
综上所述：△ABC三边为6，6，2．
∴周长为6+6+2=14．

点评：重点考查了根的判别式及三角形三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．