Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线l： 与x轴、y轴分别交于点M，N，高为3的等边三角形ABC，边BC在x轴上，将此三角形沿着x轴的正方向平移，在平移过程中，得到△A1B1C1，当点B1与原点重合时，解答下列问题：

（1）求出点A1的坐标，并判断点A1是否在直线l上；

（2）求出边A1C1所在直线的解析式；

（3）在坐标平面内找一点P，使得以P、A1、C1、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出P点坐标．

Answer 1

【答案】（1）A1（，3），在直线上；（2）；（3）P1（，3），P2（，﹣3），P3（﹣，3）．

【解析】试题分析：

(1) 根据题意画出示意图，过点A1作x轴的垂线AD，在Rt△A1DB1中利用等边三角形的性质和勾股定理可以求得线段A1D和B1D的长，进而写出点A1的坐标. 将点A1的横坐标代入直线l的解析式，求得相应的纵坐标，通过对比求得的纵坐标和点A1的纵坐标可以判断点A1与直线l的位置关系.

(2) 根据等边三角形的边长容易得到点C1的坐标. 利用点A1和点C1的坐标，结合一次函数的一般形式，可以获得关于待定系数的方程，求解这些方程进而可以写出边A1C1所在直线的解析式.

(3) 由于利用△A1C1M的三个内角均可以构造出符合题意的平行四边形，所以本小题应对这三种情况分别进行讨论. 根据题意画出各种情况的示意图. 当以∠A1C1M为平行四边形的一个内角构造平行四边形时，可以过点A1作y轴的垂线AE，利用Rt△A1B1E中的几何关系求得线段A1E和B1E的长. 利用点M的坐标和等边三角形的边长可以得到线段C1M的长，进而获得线段A1P的长，从而可以写出点P的坐标. 当以∠A1MC1为平行四边形的一个内角构造平行四边形时，利用Rt△A1B1F中的几何关系和线段C1M的长，可以求得线段A1F和B1F的长，进而写出点P的坐标. 当以∠C1A1M为平行四边形的一个内角构造平行四边形时，可以过点P作x轴的垂线PG，利用平行四边形的性质获得线段PM的长，利用Rt△PGM中的几何关系和线段B1M的长，可以求得线段PG和OG的长，进而写出点P的坐标.

试题解析：

(1)

如图，过点A1作A1D⊥OM，垂足为D.

∵△A1B1C1是等边三角形，A1D⊥OM，

∴∠B1A1D=30°，

∴在Rt△A1DB1中， ，

∵A1D=3，

∴在Rt△A1DB1中， ，

∴， .

∴点A1的坐标为(, 3).

由直线l的解析式，得

当x=时， ，

∴点A1在直线l上.

(2) ∵△A1B1C1是等边三角形， ，

∴.

∴点C1的坐标为(, 0).

设直线A1C1的解析式为y=kx+b (k≠0).

将点A1 (, 3)，点C1 (, 0)的坐标分别代入直线A1C1的解析式，得

，

解之，得

，

∴直线A1C1的解析式为.

(3) 点P的坐标为(, 3)，(, 3)或(, -3). 求解过程如下.

根据题意，分别对下面三种情况进行讨论.

①若以∠A1C1M为平行四边形的一个内角，则所求平行四边形为平行四边形A1C1MP.

如图①，过点A1作A1E⊥ON，垂足为E.

由直线l的解析式，得

当y=0时， ，

∴x=.

∴点M的坐标为(, 0).

∴OM=.

∵，

∴，

∴.

∵△A1B1C1是等边三角形，

∴∠A1B1C1=60°，

∴∠A1B1E=90°-∠A1B1C1=90°-60°=30°.

∴在Rt△A1EB1中， ， .

∵A1P∥C1M，A1E⊥ON，

∴点E，A1，P在同一条直线上，

∴.

∴点P的坐标为(, 3).

②若以∠A1MC1为平行四边形的一个内角，则所求平行四边形为平行四边形PC1MA1.

∵A1P∥C1M，

∴A1F⊥ON，

∴在Rt△A1FB1中， ， .

∵，

∴.

∴点P的坐标为(, 3).

③若以∠C1A1M为平行四边形的一个内角，则所求平行四边形为平行四边形A1C1PM.

如图③，过点P作PG⊥OM，垂足为G.

∵△A1B1C1是等边三角形，

∴∠A1C1B1=60°，

∴∠A1C1M=180°-∠A1C1B1=180°-60°=120°，

∵A1C1∥PM，

∴∠PMC1=∠A1C1M=120°，

∴∠PMG=180°-∠PMC1=180°-120°=60°，

∴在Rt△PMG中，∠MPG=90°-∠PMG=90°-60°=30°.

∵，

∴在Rt△PGM中， ，

.

∵OM=，

∴.

∴点P的坐标为(, -3).

综上所述，点P的坐标为(, 3)，(, 3)或(, -3).