Question

【题目】如图，在等腰梯形ABCD中，，，，.点Р从点B出发沿折线段以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点O向上作射线OKIBC，交折线段于点E．点P、O同时开始运动，为点Р与点C重合时停止运动，点Q也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒.

（1）点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；

（2）当点Р运动到AD上时，t为何值能使？

（3）t为何值时，四点P、Q、C、E成为一个平行四边形的顶点？

（4）能为直角三角形时t的取值范围________.（直接写出结果）

（注：备用图不够用可以另外画）

Answer 1

【答案】(1) 秒，；（2）详见解析；（3）；（4）或．

【解析】

（1）把BA，AD，DC它们的和求出来再除以速度每秒5个单位就可以求出t的值，然后也可以求出BQ的长；

（2）如图1，若PQ∥DC，又AD∥BC，则四边形PQCD为平行四边形，从而PD=QC，用t分别表示QC，BA，AP，然后就可以得出关于t的方程，解方程就可以求出t；

（3）分情况讨论，当P在BA上运动时，E在CD上运动．0≤t≤10，QC的长度≤30，PE的长度>AD=75，QC<PE，此时不能构成以P、Q、C、E为顶点的平行四边形；当P点运动到AD上，E在AD上，且P在E的左侧时，P、Q、C、E为顶点的四边形可能是平行四边形，根据平行四边形的性质建立方程求出其解就可以得出结论；当P在E点的右侧且在AD上时，t≤25，P、Q、C、E为直角梯形，当P在CD上，E在AD上QE与PC不平行，P、Q、C、E不可能为平行四边形，

（4）①当点P在BA（包括点A）上，即0<t≤10时，如图2．过点P作PG⊥BC于点G，则PG=PBsinB=4t，又有QE=4t=PG，易得四边形PGQE为矩形，此时△PQE总能成为直角三角形

②当点P、E都在AD（不包括点A但包括点D）上，即10<t≤25时，如图1．由QK⊥BC和AD∥BC可知，此时，△PQE为直角三角形，但点P、E不能重合，即5t-50+3t-30≠75，解得t≠．③当点P在DC上（不包括点D但包括点C），即25<t≤35时，如图3．由ED>25×3-30=45，

可知，点P在以QE=40为直径的圆的外部，故∠EPQ不会是直角．由∠PEQ<∠DEQ，可知∠PEQ一定是锐角．对于∠PQE，

∠PQE≤∠CQE，只有当点P与C重合，即t=35时，如图4，∠PQE=90°，△PQE为直角三角形．

解：(1)t=(50+75+50)÷5=35(秒)时，点P到达终点C，

此时，QC=35×3=105，

∴BQ的长为135105=30.

(2)如图1,若PQ∥DC，

∵AD∥BC，

∴四边形PQCD为平行四边形，

∴PD=QC，

由QC=3t，BA+AP=5t

得50+755t=3t,

解得t=.

∴当t=时,PQ∥DC.

(3)当P在BA上运动时，E在CD上运动.0t10，QC的长度30，PE的长度>AD=75，QC<PE，此时不能构成以P、Q、C. E为顶点的平行四边形；

当P点运动到AD上，E在AD上，且P在E的左侧时，P、Q、C. E为顶点的四边形是平行四边形，如图5，

∴PE=QC.

如图1,作DH⊥BC于H,AG⊥BC于G，

∠AGB=∠DHC=90

∴四边形AGHD是矩形，

∴GH=AD=75.AG=DH.

在△ABG和△DCH中，

∴△ABG≌△DCH，

∴BG=CH=(13575)=30,

∴ED=3(t10)

∵AP=5t50，

∴PE=75(5t50)3(t10)=1558t.

∵QC=3t，

∴1558t=3t，

t=.

当P在E点的右侧且在AD上时，t25，P、Q、C. E为直角梯形，

当P在CD上，E在AD上QE与PC不平行，P、Q、C. E不可能为平行四边形，

∴t=；

(4)①当点P在BA(包括点A)上,即0<t10时,如图2.

过点P作PG⊥BC于点G，则PG=PBsinB=4t，

又有QE=4t=PG，易得四边形PGQE为矩形，此时△PQE总能成为直角三角形。

②当点P、E都在AD(不包括点A但包括点D)上，即10<t25时，如图1.

由QK⊥BC和AD∥BC可知，此时，△PQE为直角三角形，但点P、E不能重合，

即5t50+3t30≠75,解得t≠.③当点P在DC上(不包括点D但包括点C)，

即25<t35时，如图3.由ED>25×330=45，可知，点P在以QE=40为直径的圆的外部，故∠EPQ不会是直角。由∠PEQ<∠DEQ，可知∠PEQ一定是锐角

对于∠PQE，∠PQE∠C, 只有当点P与C

重合,即t=35时,如图4,∠PQE=90，△PQE为直角三角形。

综上所述,当△PQE为直角三角形时,t的取值范围是0<t25且t≠或t=35.

故答案为：0<t25且t≠或t=35.