Question

2．边长为1的正方形ABCD中，E为边AD的中点，连接线段CE交BD于点F，点M为线段CE延长线上一点，且∠MAF为直角，则DM的长为$\frac{\sqrt{13}}{4}$．

Answer 1

分析 作MN⊥AD，先证明MA=ME，进而求出AN=NE=$\frac{1}{4}$，利用MN∥CD得$\frac{MN}{CD}$=$\frac{NE}{ED}$，求出MN，在RT△MND中利用勾股定理即可求出DM．

解答 解：作MN⊥AD垂足为N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABF=∠CBF，BC∥AD，∠BAD=∠CDA=90°，
∵BF=BF，
在△BFA与△BFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠CBF}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△BFA≌△BFC，
∴∠BAF=∠BCF=∠CED=∠AEM，
∵∠MAF=∠BAD=90°，
∴∠BAF=∠MAE，
∴∠MAE=∠AEM，
∴MA=ME，
∵AE=ED=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$，
∴AN=NE=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{4}$，
∵∠MNE=∠CDE=90°，
∴MN∥CD，
∴$\frac{MN}{CD}$=$\frac{NE}{ED}$=$\frac{1}{2}$，
∵CD=1，
∴MN=$\frac{1}{2}$，
在RT△MND中，∵MN=$\frac{1}{2}$，DN=$\frac{3}{4}$，
∴DM=$\sqrt{D{N}^{2}+M{N}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{3}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{4}$，
故答案为$\frac{\sqrt{13}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{13}}{4}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、平行成比例的性质、勾股定理等知识，灵活运用这些知识是解题的关键．