Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转后得到矩形A'BC'D'，点A的对应点A'在对角线AC上，点C、D分别与点C'、D'对应，A′D'与边BC交于点E，那么BE的长是_____．

Answer 1

【答案】．

【解析】

如下图，过点B作BF⊥AC，过点E作EH⊥AC，由勾股定理可求AC＝5，由面积法可求BF＝，由勾股定理可求AF＝，由旋转的性质可得AB＝BA'，∠BAD＝∠BA'D'＝90°，可求AA'＝，由等腰三角形的性质可求HC的长，通过证明△EHC∽△ABC，可得，可求EC的长，即可求解．

如下图，过点B作BF⊥AC，过点E作EH⊥AC，

∵AB＝3，AD＝4，∠ABC＝90°，

∴AC＝＝5，

∵S△ABC＝AB×BC＝AC×BF，

∴3×4＝5BF，

∴BF＝

∴AF＝，

∵将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转后得到矩形A'BC'D'，

∴AB＝BA'，∠BAD＝∠BA'D'＝90°，且BF⊥AC，

∴∠BAC＝∠BA'A，AF＝A'F＝，∠BA'A+∠EA'C＝90°，

∴A'C＝AC﹣AA'＝，

∵∠BA'A+∠EA'C＝90°，∠BAA'+∠ACB＝90°，

∴∠ACB＝∠EA'C，

∴A'E＝EC，且EH⊥AC，

∴A'H＝HC＝A'C＝，

∵∠ACB＝∠ECH，∠ABC＝∠EHC＝90°，

∴△EHC∽△ABC，

∴

∴

∴EC＝，

∴BE＝BC﹣EC＝4﹣＝，

故答案为：．