Question

如图，在直角坐标系xoy中，A、B是x轴上两点，以AB为直径的圆交y轴于C点，设过A、B、C三点的抛物线解析式为y=x²-px+q，若方程x²-px+q=0两根的倒数和为-2
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设平行于x轴的直线交该抛物线于E、F两点，问是否存在以线段EF为直径的圆恰好与x轴相切？若存在，求出此圆的圆心和半径；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意，设A（x₁，0），B（x₂，0），C（0，q），
∵OA=-x₁，OB=x₂，又CO⊥AB，
∴CO²=AO•OB，即q²=-x₁x₂；
又∵x₁，x₂是方程x²-px+q=0的两根，
∴x₁•x₂=q，
∴q²=-q，
∴q₁=-1，q₂=0（舍去），
∴q=-1，
∵x₁，x₂是方程x²-px+q=0的两根，
∴x₁+x₂=p，
又∵q=-1，
∴x₁x₂=-1，
∴+====-2，
∴p=2，
∴所求抛物线的关系式为y=x²-2x-1；

（2）存在，理由为：
抛物线的对称轴为直线x=1，
设满足题意圆的半径为|r|，可得出E（1+|r|，|r|）或F（1-|r|，|r|），
将E坐标代入抛物线得：|r|=（1+|r|）²-2（1+|r|）-1，
解得：|r|=2，
∴E（3，2），F（-1，2），
∴线段EF的中点坐标为（1，2），即为此时圆心坐标．
分析：（1）由于AB是圆的直径，根据相交弦定理的推论可得OC²=OA•OB，若设A（x₁，0），B（x₂，0），那么q²=-x₁x₂，根据根与系数的关系知x₁x₂=q，联立两式即可求得q的值，根据韦达定理可求得方程的两根之和与两根之积，即可表示出它们的倒数和，已知了倒数和为2，即可求得p的值，由此确定抛物线的解析式；
（2）存在以线段EF为直径的圆恰好与x轴相切，理由为：求出抛物线的对称轴，设出圆的半径为|r|，根据对称轴得到E与F的坐标，将E坐标代入抛物线解析式求出r的值，进而确定出此时圆心坐标．
点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：相交弦定理，坐标与图形性质，根与系数的关系，二次函数的性质，是一道综合性较强的压轴题．