Question

如图，在△ABC中，BC=

3

+1，∠B=30°，∠C=45°，当以A为圆心的⊙A与直线BC：（1）相切；（2）相交；（3）相离时，分别求⊙A的半径r．

Answer 1

分析：过A作AD垂直于BC，由已知的度数，利用特殊角的三角函数值表示出BD与DC，BD+DC=BC，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出AD的长，
（1）若圆A与直线BC相切，AD=r，求出此时r的值；
（2）若圆A与直线BC相交，AD小于r，求出r的范围；
（3）若圆A与直线BC相离，AD大于r，求出r的范围．

解答：解：设AD=k，根据题意得：DC=k，BD=

3

k，
∴BC=BD+DC=

3

k+k=

3

+1，即k=1，
∴AD=1，
（1）当圆A与直线BC相切时，AD=r，此时圆A半径为1；
（2）当圆A与直线BC相交时，AD＜r，此时r＞1；
（3）当圆A与直线BC相离时，AD＞r，此时0＜r＜1．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判断．