Question

如图，ABCD为圆内接四边形，过AB上一点M，引MP，MQ，MR分别垂直于BC，CD，AD，连接PR，MQ相交于N，求证：

PN

NR

=

BM

MA

．

Answer 1

分析：先根据A、B、C、D四点共圆，可得出M、R、D、Q四点共圆，M、P、C、Q四点共圆，再在△RMN及△PMN中利用余弦定理即可得出PN、NR、BM、MA的关系式，进而可得出结论．

解答：证明：∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠RAM=180°-∠C，∠PBM=180°-∠D（圆内接四边形的对角互补）
∵MR⊥AD、MQ⊥CD，
∴M、R、D、Q四点共圆，
∴∠RMN=180°-∠D；
∵MP⊥BC、MQ⊥CD，
∴M、P、C、Q四点共圆，
∴∠PMN=180°-∠C，
△RMN中使用正弦定理：

RN

sin∠RMN

=

RM

sin∠RNM

△PMN中使用正弦定理：

PN

sin∠PMN

=

PM

sin∠PNM

∵sin∠RNM=sin∠PNM，
∴

PN

RN

=

PM×sin∠PMN

RM×sin∠RMN

=

PM×sin∠C

RM×sin∠D

∴PM=MB×sin∠PBM=MB×sin∠D，RM=MA×sin∠RAM=MA×sin∠C，
∴

PN

RN

=

PMsin∠C

RM×sin∠D

=

MB×sin∠D×sin∠C

MA×sin∠C×sin∠D

=

MB

MA

，
∴

PN

NR

=

BM

MA

．

点评：本题考查的是四点共圆问题、余弦及正弦定理，难度较大．