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    如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=900，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．

    （1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；

    （2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．

    ①AE=EF是否总成立？请给出证明；

    ②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线上，求此时点F的坐标．

     

    【答案】

    （1）△AGE与△ECF（2）①成立②

    【解析】解：（1）如图，取AB的中点G，连接EG，则△AGE与△ECF全等。 

    （2）①若点E在线段BC上滑动时AE=EF总成立。证明如下：如图，

    在AB上截取AM=EC，

    ∵AB=BC，∴BM=BE。

    ∴△MBE是等腰直角三角形。

    ∴∠AME=1800－450=1350。

    又∵CF平分正方形的外角，∴∠ECF=1350。

    ∴∠AME=∠ECF。

    又∵∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=900，∴∠BAE=∠CEF。

    ∴△AME≌△ECF（ASA）。∴AE=EF。

    ②过点F作FH⊥x轴于H，

    由①知，FH=BE=CH，设BH=a，则FH=a－1。

    ∴点F的坐标为F（a，a－1）。

    ∵点F恰好落在抛物线上，∴。

    ∴a2=2。∴（负值不合题意，舍去）。

    ∴。∴点F的坐标为。

    （1）取AB的中点G，连接EG，利用SSS能得到△AGE与△ECF全等。

    （2）①在AB上截取AM=EC，由ASA证得△AME≌△ECF即可证得AE=EF。

    ②过点F作FH⊥x轴于H，根据FH=BE=CH设BH=a，则FH=a－1，然后表示出点F的坐标，根据点F恰好落在抛物线上得到有关a的方程求得a值即可求得点F的坐标。

     

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    图1，周长=
    6
    6
                          
    图2，周长=
    2+2
    		17
    2+2
    		17

    （2）如图2，已知正方形ABCD边长为2，将正方形剪两刀成三部分，并拼成一个等腰非直角三角形，要求在原图上画出剪切线和拼成的三角形，并填出等腰三角形的周长．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•孝感）如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
    （1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；
    （2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．
    ①AE=EF是否总成立？请给出证明；
    ②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y=-x2+x+1上，求此时点F的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1）如图1，已知正方形ABCD与正方形DEFG，点A、D、E三点共线，则S△ADG
    =
    =
    S△DCE（填“＞”，“＜”或“=”）
    （2）如图2，将图1中正方形DEFG绕点D，逆时针转到如图的位置，则S△ADG
    =
    =
    S△DCE（填“＞”，“＜”或“=”）
    请说明理由．
    （3）如图3，以△ABC三边向外作三个正方形，分别为正方形AEDC、正方形CFGB正方形ABHK，并且△ABC的边AC长为5，边AB长为4，则三角形AKE，三角形CDF，三角形BGH的面积和的最大值为
    30
    30
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，已知正方形OABC的边长为4，等腰直角三角板OEF的直角边OE、OF分别在OA、OC上，且OE=2．将三角板OEF绕点O逆时针旋转至OE1F1的位置，旋转角为α，连接CF1、AE1．
    （1）请在图2中画出三夹板OEF逆时针旋转90°时的图形，并直接判断此时△OAE1与△OCF1是否全等．
    （2）当0°＜α＜90°时，∠OAE1与∠OCF1是否总有上述关系并加以证明；
    （3）若三角板OEF绕O点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得OE1∥CF1？若存在，请求出旋转角α的度数；若不存在，请说明理由．

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