Question

15．关于x的一元二次方程ax²+2x-a+2=0的两个不相等的实数根都在-2和0之间（不包括-2和0），则a的取值范围是$\frac{2}{3}$＜a＜2且a≠1．

Answer 1

分析 首先根据根的情况利用根的判别式解得a的取值范围，然后根据根两个不相等的实数根都在-2和0之间（不包括-2和0），结合函数图象确定其函数值的取值范围得a，易得a的取值范围．

解答 解：∵关于x的一元二次方程ax²+2x-a+2=0的两个不相等的实数根，
∴△=2²-4×a×（-a+2）=4a²-8a+4=4（a-1）²＞0，
∴a≠1，
设f（x）=ax²+2x-a+2，
根据题意知，当a＞0时，
如图1，

由f（-2）＞0且f（0）＞0可得$\left\{\begin{array}{l}{4a-4-a+2＞0}\\{-a+2＞0}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{2}{3}$＜a＜2；
当a＜0时，如图2，

由f（-2）＜0且f（0）＜0可得$\left\{\begin{array}{l}{4a-4-a+2＜0}\\{-a+2＜0}\end{array}\right.$，
∴该不等式组无解；
综上，a的取值范围是$\frac{2}{3}$＜a＜2且a≠1，
故答案为：$\frac{2}{3}$＜a＜2且a≠1．

点评 本题主要考查了一元二次方程根的情况的判别及抛物线与x轴的交点，数形结合确定当x=0和当x=-2时函数值的取值范围是解答此题的关键．