Question

【题目】已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，D是AC边上的一个动点，将△ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处．

（1）如图1，若点D是AC中点，连接PC．

①写出BP，BD的长；

②求证：四边形BCPD是平行四边形．

（2）如图2，若BD=AD，过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H，求PH的长．

Answer 1

【答案】（1）①BD=，BP=；②证明见解析；（2）．

【解析】试题（1）①分别在Rt△ABC，Rt△BDC中，求出AB、BD即可解决问题；

②证明DP∥BC，DP=BC即可；

（2）如图2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延长BD交PA于M．设BD=AD=x，则CD=4﹣x．在Rt△BDC中，可得x2=（4﹣x）2+22，推出x的值，从而得出DN的长．由△BDN∽△BAM，可得，由此求出AM．由△ADM∽△APE，可得，由此求出AE的长，可得EC的长，由此即可解决问题．

试题解析：解：（1）①在Rt△ABC中，∵BC=2，AC=4，∴AB==．∵AD=CD=2，∴BD==．由翻折可知：BP=BA=．

②如图1中，∵△BCD是等腰直角三角形，∴∠BDC=45°，∴∠ADB=∠BDP=135°，∴∠PDC=135°﹣45°=90°，∴∠BCD=∠PDC=90°，∴DP∥BC，∵PD=AD=BC=2，∴四边形BCPD是平行四边形．

（2）如图2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延长BD交PA于M．设BD=AD=x，则CD=4﹣x．在Rt△BDC中，∵BD2=CD2+BC2，∴x2=（4﹣x）2+22，∴x=．∵DB=DA，DN⊥AB，∴BN=AN=．在Rt△BDN中，DN= =．由△BDN∽△BAM，可得，∴，∴AM=2，∴AP=2AM=4．由△ADM∽△APE，可得，∴，∴AE=，∴EC=AC﹣AE=4﹣=．易证四边形PECH是矩形，∴PH=EC=．