Question

8．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，点G是DC的延长线上一点，作AF⊥BG交CD于点E．垂足是点F．
①求证：CD²=ED•DG；
②如果将此题目中的条件“DC的延长线”改为“CD的延长线”，其它条件不变，那么①中的结论是否仍然成立？为什么？

Answer 1

分析 ①根据∠ACB=90°，CD⊥AB，得到∠CAD=∠BCD，推出Rt△ACD∽Rt△CBD，于是得到CD²=AD•BD，根据AF⊥BG，GD⊥AB，证得∠EDA=∠EFG=∠GDP=90°，推出△BGD∽△ADE，于是得到AD•BD=DG•DE即可得到结论；
②根据∠ACB=90°，CD⊥AB，得到∠CAD=∠BCD，推出Rt△ACD∽Rt△CBD，于是得到CD²=AD•BD，根据AF⊥BG，GD⊥AB，证得∠EDA=∠EFG=∠GDP=90°，推出△BGD∽△ADE，于是得到AD•BD=DG•DE即可得到结论．

解答 证明：①∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BCD，
∴Rt△ACD∽Rt△CBD，
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{AD}{CD}$，
∴CD²=AD•BD，
又∵AF⊥BG，GD⊥AB，
∴∠EDA=∠EFG=∠GDB=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠G=∠3，
∴△BGD∽△ADE，
∴$\frac{GD}{AD}$=$\frac{BD}{DE}$，
∴AD•BD=DG•DE
∴CD²=DE•DG；

②①中的结论仍然成立，
理由：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BCD，
∴Rt△ACD∽Rt△CBD，
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{AD}{CD}$，
∴CD²=AD•BD，
又∵AF⊥BG，GD⊥AB，
∴∠EDA=∠EFG=∠GDB=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠G=∠3，
∴△BGD∽△ADE，
∴$\frac{GD}{AD}$=$\frac{BD}{DE}$，
∴AD•BD=DG•DE
∴CD²=DE•DG．

点评 此题主要考查的是相似三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．