Question

如图，过正方形ABCD的顶点作对角线BD的平行线，在这条线上取一点E，使BE=BD，连结DE，BE交AD于F，求证：DE²=EF•DB．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：证明题

分析：作辅助线，构造直角三角形，求出∠DBE的度数，进而求出∠DFE的度数；证明△DEF∽△BED，问题即可解决．

解答：证明：如图，连接AC，过点E作EP⊥BD于点P；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AO=

1

2

AC=

1

2

BD；
又∵AE∥BD，
∴四边形AEPO是矩形，
∴EP=AO=

1

2

BD，
又∵BE=BD，
∴EP=

1

2

BE，
∴∠EBP=30°；
∵BE=BD，
∴∠BED=∠BDE=

180°-30°

2

=75°，
∵∠DFE=45°+30°=75°，
∴∠DEF=∠DFE=∠BDE=75°，
∴△DEF∽△BED，
∴

DE

DB

=

EF

DE

，
∴DE²=EF•DB．

点评：该命题以正方形为载体，在考查正方形性质定理的同时，重点考查了直角三角形的性质、三角形的内角和定理、相似三角形的判定及其应用等几何知识点；准确作出辅助线是解题的关键．