Question

如下三图中，已知A（0，10）、B（10，0），P是线段AB的中点．
（1）S_△AOB=

 

，P点的坐标是

 

；
（2）如图2，C（-4，0），D为y轴上的一点，当△PDC是以P为顶点的等腰直角三角形时，求D点的坐标；
（3）如图3，当等腰直角△PCD绕P点在线段AB左下方转动时，记△PCD与△AOB重叠部分即图中阴影四边形PMON的面积为S，S的值是否为定值？如是定值，求其值；如是变化的，说明是怎样变化．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）根据A、B坐标求出OA、OB，即可求出答案；
（2）作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，证三角形PCE和三角形PDF全等，即可求出答案；
（3）连接OP，证△PON≌△PBM，推出S_△PON=S_△PBM，即可求出阴影部分的面积等于三角形AOB面积的一半，求出即可．

解答：解：（1）∵A（0，10）、B（10，0），
∴OA=OB=10，
∴S_△AOB=

1

2

×OA×OB=

1

2

×10×10=50，
作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，如图1，
∵P是线段AB的中点，
∴PE=PF=5，
P（5，5），
故答案为：50，（5，5）；
（2）如图1，作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，

∵P是线段AB的中点，
∴PE=PF=5，CE=CO+OE=4+5=9，
∵△PCD是等腰直角三角形，
在△PCE和△PDF中，

PC=PD PE=PF

∴Rt△PCE≌Rt△PDF（HL），
∴CE=DF=9，
∴OF=5，
∴OD=OF+DF=5+9=14，
∴D（0，14）；
（3）S的值是定值，
如图2，连接OP，

∵P是线段AB的中点，OA=OB
∴△POA与△POB均是等腰直角三形，
∴PO=PB，∠4=∠5=45°
∵∠1+∠3=∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠2，
在△PON和△PBM中，

∠4=∠5 PO=PB ∠1=∠2

，
∴△PON≌△PBM（ASA），
∴S_△PON=S_△PBM，
∴S_{四边形PMON}=S_△PON+S_△POM=S△PBM+S△POM=S△POB=

1

2

S△AOB=25．

点评：本题考查了点的坐标与图形面积，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较好，难度适中．