Question

如图所示，已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，△AED∽△BEC，其中A、E、D三点的对应点分别为B、E、C三点，∠ADE=∠ACD，若△ABE的面积为16，△CDE的面积为4，AD=7，DE：BE=1：3．
（1）求

DE

AE

的值；
（2）求AC的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：常规题型

分析：（1）根据相似三角形面积比是对应边比例的平方即可解题；
（2）易证△DEA∽△CDA，即可求得AC的值．

解答：解：如图

（1）记△BCE面积为S₁，△AED面积为S₂，

S1

S△CDE

=

BE

DE

=

3

1

，
∴S₁=12，

S2

S△ABE

=

DE

BE

=

1

3

，
∴S₂=

16

3

，
∵

S1

S2

=(

CE

DE

)2，
∴

CE

DE

=

1

3

，
设DE=a，则CE=

3

2

a，
∵

S△CDE

S2

=

CE

EA

，
∴EA=2a，
∴

DE

AE

=

1

2

，
（2）∵∠EDA=∠DCA，∠EAD=∠CAD，
∴△DEA∽△CDA，
∴

AD

CA

=

AE

AD

，
∵AD=7，
∴49=2a+

7

2

a，
∵a＞0，
∴a=

7

2

，
∴AC=

7 7

4

．

点评：本题考查了相似三角形面积比是对应边比值的平方，考查了相似三角形的判定．