Question

图中△ABE和△ACD都是等边三角形，BD与CE相交于点O．
（1）EC=BD吗？为什么？若BD与CE交于点O，你能求出∠BOC的度数是多少吗？
（2）如果要△ABE和△ACD全等，则还需要什么条件？在此条件下，整个图形是轴对称图形吗？此时∠BOC的度数是多少？

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：常规题型

分析：（1）先根据等边三角形的性质得AE=AB，AC=AD，∠EAB=∠DAC=60°，在证明∠EAC=∠BAD，然后根据“SAS”证明△AEC≌△ABDE，则有EC=BD；根据三角形外角性质得∠BOC=∠OCD+∠ODC=∠OCA+∠ACD+∠ODC，再利用△AEC≌△ABDE得到∠OCA=∠ODA，于是可得∠BOC=∠ACD+∠ADC，然后根据等边三角形的性质求解；
（2）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定方法易得当AB=AC时，两等边三角形全等，此时整个图形是轴对称图形，同样可得∠BOC的度数．

解答：解：（1）EC与BD相等．理由如下：
∵△ABE和△ACD都是等边三角形，
∴AE=AB，AC=AD，∠EAB=∠DAC=60°，
∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，
在△AEC和△ABD中，

AE=AB ∠EAC=∠BAD AC=AD

，
∴△AEC≌△ABDE（SAS），
∴EC=BD；
∵∠BOC=∠OCD+∠ODC=∠OCA+∠ACD+∠ODC，
∵△AEC≌△ABDE，
∴∠OCA=∠ODA，
∴∠BOC=∠ACD+∠ODC+∠ODA=∠ACD+∠ADC，
而△ACD为等边三角形，
∴∠ACD=∠ADC=60°，
∴∠BOC=60°+60°=120°；
（2）∵△ABE和△ACD都是等边三角形，
∴当AB=AC时，△ABE和△ACD全等；
此时整个图形是轴对称图形，∠BOC的度数还是120°．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．记住等边三角形的判定与性质定理．