Question

6．（1）特殊发现：
如图1，若点E，D分别落在边AC，AB上，连接BE，点O为BE的中点，连接OC、OD，试判断线段OC、OD的数量关系以及∠COD、∠ABC的数量关系，并加以证明．
（2）继续探究：
将△ADE绕点A逆时针旋转任意的角度a，请你观察、思考、分析、判断（1）中的结论是否成立．并选取图2证明你的判断．

Answer 1

分析 （1）如图1中，结论：OC=OD，∠COD=2∠ABC．利用直角三角形斜边中线的性质即可证明．
（2）如图2中，取AB中点F，连接CD、CF、OF．设∠DAB=∠EAC=α，∠CAD=β．首先证明△EAD∽△BAC，推出$\frac{AD}{AE}$=$\frac{AC}{AB}$，得$\frac{AC}{2OF}$=$\frac{AC}{2CF}$，得$\frac{AD}{OF}$=$\frac{AC}{CF}$，由$\frac{AC}{AD}$=$\frac{FC}{OF}$，∠CFO=∠CAD=β，推出△CFO∽△CAD，再证明△DCO∽△ACF，即可解决问题．

解答 证明：（1）如图1中，结论：OC=OD，∠COD=2∠ABC．

理由：在Rt△ECB中，∵∠ECB=90°．EO=OB，
∴OC=OB=OE，同理可证OD=OB=OE，
∴OC=OD，
∴∠OCB=∠OBC，∠ODB=∠OBD，
∵∠COE=∠OCB+∠OBC，∠EOD=∠ODB+∠OBD，
∴∠COD=∠COE+∠EOD=2∠OBC+2∠OBD=2（∠OBC+∠OBD）=2∠ABC．

（2）结论仍然成立，OC=OD，∠COD=2∠ABC．
理由：如图2中，取AB中点F，连接CD、CF、OF．设∠DAB=∠EAC=α，∠CAD=β．

∵∠C=90°，AF=FB，
∴AF=FB=CF，
∴∠AFC=2∠ABC，∠CAF=∠ACF=α+β，
∴∠AFC=180°-2α-2β，
∵OE=OB，AF=FB，
∴FO∥AE，OF=$\frac{1}{2}$AE，
∴∠EAF+∠AFO=180°，
∴（2α+β）+（∠AFC+∠CFO）=180°，
∴2α+β+180°-2α-2β+∠CFO=180°，
∴∠CFO=β=∠CAD，
∵∠EAD=∠BAC，∠ADE=∠ACB=90°，
∴△EAD∽△BAC，
∴$\frac{AD}{AE}$=$\frac{AC}{AB}$，
∴$\frac{AC}{2OF}$=$\frac{AC}{2CF}$，
∴$\frac{AD}{OF}$=$\frac{AC}{CF}$，
∴$\frac{AC}{AD}$=$\frac{FC}{OF}$，∵∠CFO=∠CAD=β，
∴△CFO∽△CAD，
∴∠ACD=∠FCO，$\frac{CF}{CA}$=$\frac{CO}{CD}$，
∴∠DCO=∠ACF，
∴△DCO∽△ACF，
∴∠COD=∠AFC=2∠ABC，$\frac{DO}{AF}$=$\frac{CO}{CF}$
∵△ACF是等腰三角形，
∴FA=FC，
∴OD=OC．∠COD=2∠ABC．

点评 本题考查几何变换综合题、直角三角形斜边中线性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助线构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．