Question

11．正方形A₁B₁C₁O，A₂B₂C₂C₁，A₃B₃C₃C₂，…按如图所示的方式放置，点A₁、A₂、A₃和点C₁、C₂、C₃、…分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B₁（1，1），B₂（3，2），则B₄的坐标是（15，8），B₂₀₁₅的坐标是（2²⁰¹⁵-1，2²⁰¹⁴）．

Answer 1

分析 由图和条件可知A₁（0，1）A₂（1，2）A₃（3，4），由此可以求出直线为y=x+1，Bn的横坐标为A_n+1的横坐标，纵坐标为An的纵坐标，又A_n的横坐标数列为An=2^n-1-1，所以纵坐标为（2^n-1），然后就可以求出Bn的坐标为[A（n+1）的横坐标，An的纵坐标，最后根据规律就可以求出B₄和B₂₀₁₅的坐标．

解答 解：∵点B₁（1，1），B₂（3，2），
∴A₁（0，1）A₂（1，2）A₃（3，4），
∴直线y=kx+b（k＞0）为y=x+1，
∴Bn的横坐标为A_n+1的横坐标，纵坐标为An的纵坐标
又A_n的横坐标数列为An=2^n-1-1，所以纵坐标为2^n-1，
∴Bn的坐标为[A（n+1）的横坐标，An的纵坐标]=（2ⁿ-1，2^n-1）．
所以B₄的坐标是（2⁴-1，2³），即（15，8）．
B₂₀₁₅的坐标（2²⁰¹⁵-1，2²⁰¹⁴），
故答案为：（15，8），（2²⁰¹⁵-1，2²⁰¹⁴）．

点评 此题考查正方形的性质，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．