Question

已知抛物线：y1=-

1

2

x2+2x
（1）求抛物线y₁的顶点坐标．
（2）将抛物线y₁向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线y₂，求抛物线y₂的解析式．
（3）如图，抛物线y₂的顶点为P，x轴上有一动点M，在y₁、y₂这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用配方法求出抛物线y₁的顶点坐标即可；
（2）直接利用二次函数平移的规律，左加右减，上加下减，解答即可；
（3）假设符合条件的N点存在，利用平行四边形的性质和三角形全等，找出点N到x轴的距离，即抛物线的纵坐标，代入解析式，解方程解决问题．

解答：解：（1）依题意把抛物线：
y₁=-

1

2

x²+2x
=-

1

2

（x²-4x）
=-

1

2

[（x-2）²-4]
=-

1

2

（x-2）²+2，
故抛物线y₁的顶点坐标为：（2，2）；

（2）∵抛物线y₁向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到y₂=-

1

2

（x-4）²+3，
整理得y₂=-

1

2

x²+4x-5；

（3）符合条件的N点存在．
如图：作PA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B，
∴∠PAO=∠MBN=90°，
若四边形OPMN为符合条件的平行四边形，则OP∥MN，且OP=MN，
∴∠POA=∠BMN，
在△POA和△NMB中

∠PAO=∠NBM ∠AOP=∠BMN OP=MN

∴△POA≌△NMB（AAS），
∴PA=BN，
∵点P的坐标为（4，3），
∴NB=PA=3，
∵点N在抛物线y₁、y₂上，且P点为y₁、y₂的最高点
∴符合条件的N点只能在x轴下方，
①点N在抛物线y₁上，则有：-

1

2

x²+2x=-3
解得：x₁=2-

10

，x₂=2+

10

，
②点N在抛物线y₂上，则有：-

1

2

（x-4）²+3=-3
解得：x₃=4-2

3

或x₄=4+2

3

故符合条件的N点有四个：N₁（2-

10

，-3），N₂（4-2

3

，-3），N₃（2+

10

，-3），N₄（4+2

3

，-3）．

点评：此题考查了利用平移的规律求二次函数顶点式解析式，利用平行四边形的性质、三角形的全等与性质以及二次函数图象上点的坐标特征解决问题．