Question

如图，已知抛物线C₀的解析式为y=x²-（a+b）x+，其中a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的长．
（1）求证：抛物线C₀与x轴必有两个交点；
（2）设P、Q是抛物线C₀与x轴的两个交点，求证：P、Q两点总在x轴的正半轴上；
（3）设直线l：y=ax-bc与抛物线交于点E、F，与y轴交于点M，N为抛物线与y轴的交点，直线x=a是抛物线的对称轴，当△MNE的面积是△MNF的面积的5倍时，确定△ABC的形状．

Answer 1

（1）证明：令y=0，则有x²-（a+b）x+=0（*），△=（a+b）²-c²，
由于a、b、c分别是△ABC的三边，
因此a+b＞c＞0，
因此（a+b）²＞c²
∴△＞0，
因此抛物线总与x轴有两个交点．

（2）证明：设P、Q的坐标为（x₁，0）（x₂，0），
根据（1）可得：x₁•x₂=＞0，
因此x₁，x₂同号．
x₁+x₂=a+b＞0，
因此x₁＞0，x₂＞0；
即P、Q总在x轴的正半轴上．

（3）解：由题意知：x==a，因此a=b．
设E点的横坐标为m，F点的横坐标为n，联立c₀和l可得：
x²-2ax+=ax-ac，
即x²-3ax+=0，
∴m=，n=
由题意可知：m=5n；
即3a+=15a-5
即5a²-4ac-c²=0，
解得a=-（不合题意舍去），a=c
因此a=b=c，△ABC为等边三角形．
分析：（1）令y=0，用根的判别式和三角形三边关系即可证得．
（2）设出P、Q坐标，根据韦达定理表示出两点横坐标的和与积的表达式，即可证得两点横坐标均为正数．
（3）先根据抛物线的对称轴求出a、b的关系．然后联立抛物线与直线l的解析式，求出E、F的横坐标，已知△MNE的面积是△MNF的面积的5倍，根据等底三角形的面积比等于高的比，由此可得出E的横坐标是F的横坐标的5倍，由此可求出a、c的关系，由此可求出三角形ABC的形状．
点评：本题考查了二次函数与一元二次方程的关系、韦达定理、函数图象交点、等边三角形的判定等知识点．