Question

4．如图，点B在AD上，△ABC和△BDE是等边三角形，CD交BE于点M，AE交BC，CD于点N，O，连接MN．
（1）求证：AE=CD；
（2）求∠EOC的度数；
（3）求证：MN∥AD．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质可得出AB=CB、EB=DB、∠ABC=∠DBE=60°，由邻补角互补可得出∠ABE=∠CBD=120°，由此即可证出△BAE≌△BCD（SAS），根据全等三角形的性质可得出AE=CD；
（2）由△BAE≌△BCD可得出∠CDB=∠AEB，根据等边三角形的性质结合三角形外角的性质即可求出∠AOC=60°，再由邻补角互补可求出∠EOC的度数；
（3）根据等边三角形的性质结合角的计算可得出∠EBC=∠DBE=60°，从而可证出△BDM≌△BEN（ASA），根据全等三角形的性质可得出BM=BN，进而可得出△BMN为等边三角形，根据等边三角形的性质可得出∠BMN=60°=∠DBE，再由“内错角相等，两直线平行”即可证出MN∥AD．

解答 （1）证明：∵△ABC和△BDE是等边三角形，
∴AB=CB，EB=DB，∠ABC=∠DBE=60°，
∴∠ABE=∠CBD=120°．
在△BAE和△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABE=∠CBD}\\{EB=DB}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△BCD（SAS），
∴AE=CD．

（2）解：∵△BAE≌△BCD，
∴∠CDB=∠AEB．
∵∠DBE=60°，
∴∠DAE+∠AEB=60°，
∴∠DAE+∠ADC=60°，
∴∠AOC=∠DAE+∠ADC=60°，
∴∠EOC=120°．

（3）证明：∵∠ABC=∠DBE=60°，
∴∠EBC=60°，
∴∠EBC=∠DBE．
在△BDM和△BEN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DBM=∠EBN}\\{DB=EB}\\{∠BDM=∠BEN}\end{array}\right.$，
∴△BDM≌△BEN（ASA），
∴BM=BN，
∴△BMN为等边三角形，
∴∠BMN=60°=∠DBE，
∴MN∥AD．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、邻补角以及平行线的判定，解题的关键是：（1）利用SAS证出△BAE≌△BCD；（2）通过角的计算求出∠AOC=60°；（3）利用全等三角形的性质结合∠BMN=60°，找出△BMN为等边三角形．