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【题目】已知:如图1,我们在2016年7月的日历中标出一个十字星,并计算它的“十字差”(将十字星左右两数,上下两数分别相乘再将所得的积作差,称为该十字星的“十字差”).该十字星的十字差为12×14﹣6×20=48,再选择其它位置的十字星,可以发现“十字差”仍为48.
(1)如图2,将正整数依次填入5列的长方形数表中,探究不同位置十字星的“十字差”,可以发现相应的“十字差”也是一个定值,则这个定值为
(2)若将正整数依次填入6列的长方形数表中,不同位置十字星的“十字差”是一个定值吗?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由.
(3)若将正整数依次填入k列的长方形数表中(k≥3),继续前面的探究,可以发现相应“十字差”为与列数k有关的定值,请用k表示出这个定值,并证明你的结论.

【答案】
(1)24
(2)解:是,这个定值是35;

设十字星中心的数为x,则十字星左右两数分别为x﹣1,x+1,

上下两数分别为x﹣6,x+6,

十字差为(x﹣1)(x+1)﹣(x﹣6)(x+6)=x2﹣1﹣x2+36=35


(3)解:定值为k2﹣1=(k+1)(k﹣1);

证明:设十字星中心的数为x,则十字星左右两数分别为x﹣1,x+1,上下两数分别为x﹣k,x+k(k≥3),

十字差为(x﹣1)(x+1)﹣(x﹣k)(x+k)=x2﹣1﹣x2+k2=k2﹣1,

故这个定值为k2﹣1=(k+1)(k﹣1)


【解析】解:(1)根据题意得:6×8﹣2×12=48﹣24=24;所以答案是:24.

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