Question

10．如图，C为线段AB上一动点，分别过点A、B作DA⊥AB，EB⊥AB．已知AD=3，BE=2，AB=12，设AC=x
（1）用含x的代数式表示DC+CE的长．
（2）请问点C满足什么条件时，DC+CE的值最小？
（3）根据（2）的规律和结论，请构图求出代数式$\sqrt{{x^2}+25}+\sqrt{{{（8-x）}^2}+1}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由于△ADC和△CBE都是直角三角形，故DC，CE可由勾股定理求得；
（2）根据两点之间线段最短可知：当D、C、E三点共线时，DC+CE的值最小；
（3）由（1）（2）的结果可作AB=8，过点B作BE⊥AB，过点A作AD⊥AB，使AD=5，EB=1，连接DE交AB于点C，则DE的长即为代数式$\sqrt{{x}^{2}+25}+\sqrt{（8-x）^{2}+1}$的最小值，然后构造矩形AFEB，得到Rt△AFE，利用矩形的性质和勾股定理可求得DE的值．

解答 解：（1）∵DA⊥AB，EB⊥AB，
∴△ADC和△CBE都是直角三角形．
由勾股定理可知：DC+CE=$\sqrt{A{D}^{2}+A{C}^{2}}+\sqrt{B{E}^{2}+C{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{x}^{2}}+\sqrt{（12-x）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+9}+\sqrt{（12-x）^{2}+4}$；
（2）根据两点之间线段最短可知：当D、C、E三点共线时，AC+CE的值最；
（3）如下图所示：作AB=8，过点B作BE⊥AB，过点A作AD⊥AB，使AD=5，EB=1，连接DE交AB于点C，

设AC=x，则DE的长即为代数式$\sqrt{{x}^{2}+25}+\sqrt{（8-x）^{2}+1}$的最小值．
过点E作EF∥AB交DA的延长线于点F，得矩形ABEF，
则AB=EF=8，AF=BE=1，DF=AD+AF=5+1=6，
在Rt△DFE中，由勾股定理得：DE=$\sqrt{D{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}=10$，
即代数式$\sqrt{{x}^{2}+25}+\sqrt{（8-x）^{2}+1}$的最小值为10．

点评 本题综合考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，解题时，注意作图所依据的公理以及相关图形的性质．