Question

已知关于x的方程x²-（k+2）x+2k=0．
（1）求证：无论k取任意实数值，方程总有实数根．
（2）若等腰三角形ABC的一边a=1，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

Answer 1

证明：（1）∵△=b²-4ac=（k+2）²-8k=（k-2）²≥0，
∴无论k取任意实数值，方程总有实数根．

解：（2）分两种情况：
①若b=c，
∵方程x²-（k+2）x+2k=0有两个相等的实数根，
∴△=b²-4ac=（k-2）²=0，
解得k=2，
∴此时方程为x²-4x+4=0，解得x₁=x₂=2，
∴△ABC的周长为5；
②若b≠c，则b=a=1或c=a=1，即方程有一根为1，
∵把x=1代入方程x²-（k+2）x+2k=0，得1-（k+2）+2k=0，
解得k=1，
∴此时方程为x²-3x+2=0，
解得x₁=1，x₂=2，
∴方程另一根为2，
∵1、1、2不能构成三角形，
∴所求△ABC的周长为5．
综上所述，所求△ABC的周长为5．
分析：（1）把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得出△≥0可知方程总有实数根．
（2）根据等腰三角形的性质分情况讨论求出b，c的长，并根据三角形三边关系检验，综合后求出△ABC的周长．
点评：考查根的判别式，等腰三角形的性质及三角形三边关系．