Question

【题目】已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，给出下列四个论断：

①OA=OC，②AB=CD，③∠BAD=∠DCB，④AD∥BC．

请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论，完成下列各题：

（1）构造一个真命题，画图并给出证明；

（2）构造一个假命题，举反例加以说明．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

如果①②结合，那么这些线段所在的两个三角形是SSA，不一定全等，那么就不能得到相等的对边平行；如果②③结合，和①②结合的情况相同；如果①④结合，由对边平行可得到两对内错角相等，那么AD，BC所在的三角形全等，也得到平行的对边也相等，那么是平行四边形；最易举出反例的是②④，它有可能是等腰梯形．

（1）①④为条件时：

∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠BCA，∠ADB=∠DBC，

又∵OA=OC，

∴△AOD≌△COB，

∴AD=BC，

∴四边形ABCD为平行四边形；

（2）②④为条件时，此时一组对边平行，另一组对边相等，可以构成等腰梯形．