Question

2．如图1，在△ABC中，∠C=90°，点P、Q同时从点C出发，分别沿射线CA、边CB均以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当点Q到达B点时，点P、Q同时停止运动．过点P作AC的垂线L，交AB于点R，连接PQ，RQ，并作△PQR关于直线L的对称图形，得△PTR．设点Q的运动时间为t s，△PAR与△PTR重叠部分的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示（其中0＜t≤$\frac{12}{5}$，$\frac{12}{5}$≤t≤6时，函数的解析式不相同）．
（1）填空：△CQP为等腰直角三角形，m的值为$\frac{126}{25}$．
（2）求S关于t的函数关系式（不需写出t的取值范围）．

Answer 1

分析 （1）根据题意得：△CQP是等腰直角三角形，从图1中看，重叠部分的图形都是三角形，随着时间的增大先变大，再变小，与图2结合，发现最大时，即t=6时，Q与B重合，此时T、R都在斜边AB上，且CP=CQ=$\frac{12}{5}$，如图3，根据条件先求出AC和BC的长，由面积公式可以得出四边形RQPT的面积，根据对称可知，这个四边形面积是所求三角形面积的2倍，计算得出结论；
（2）根据（1）中求出的两直角边的长度，分两种情况：
①当0＜t≤$\frac{12}{5}$时，如图4，重叠部分面积就是△PRT的面积，由平行相似先求PR的长，利用四边形面积公式可求出S关于t的函数关系式；
②当$\frac{12}{5}$＜t≤6时，如图5，作高线ED，重叠部分面积是△PRE的面积，根据相似列比例式求DE的长，再代入面积公式进行计算．

解答 解：（1）由题意得：CP=CQ=t，
∵∠ACB=90°，
∴△CQP是等腰直角三角形，
由图2得：0＜t≤6，即t=6时，Q与B重合，
∴BC=6，
从图2中得：t=$\frac{12}{5}$时，S最大，
即如图3所示，连接QT，此时T、R都在斜边AB上，且CP=CQ=$\frac{12}{5}$，
由折叠得：∠QRP=∠TRP，QR=RT，Q、T关于直线PR对称，
∴PR是线段QT的垂直平分线，
∴QT=2OQ=2CP=2×$\frac{12}{5}$=$\frac{24}{5}$，
∵PR⊥AC，BC⊥AC，
∴PR∥BC，
∴∠B=∠TRP，∠QRP=∠BQR，
∴∠B=∠BQR，
∴BR=QR，
∴BR=RT，
∴OR是△BQT的中位线，
∴OR=$\frac{1}{2}$BQ=$\frac{1}{2}$（6-$\frac{12}{5}$）=$\frac{9}{5}$，
∵QT∥AC，
∴△RQT∽△BCA，
∴$\frac{QT}{AC}=\frac{BQ}{BC}$，
∴$\frac{\frac{24}{5}}{AC}=\frac{\frac{18}{5}}{6}$，
∴AC=8，
∴S_{四边形QPTR}=S_△QRT+S_△QPT=$\frac{1}{2}$QT•OR+$\frac{1}{2}$QT•OP=$\frac{1}{2}$QT•PR=$\frac{1}{2}$×$\frac{24}{5}$×$（\frac{12}{5}+\frac{9}{5}）$=$\frac{252}{25}$，
∴S=S_△PRT=$\frac{1}{2}$×$\frac{252}{25}$=$\frac{126}{25}$，
即m=$\frac{126}{25}$，
故答案为：等腰直角，$\frac{126}{25}$；
（2）分两种情况：
①当0＜t≤$\frac{12}{5}$时，如图4，连接QT，交PR于O，
∵PR∥BC，
∴△APR∽△ACB，
∴$\frac{PR}{BC}=\frac{AP}{AC}$，
∴$\frac{PR}{6}=\frac{8-t}{8}$，
∴PR=$\frac{3（8-t）}{4}$，
∴S=S_△PRQ=$\frac{1}{2}$S_{四边形RQPT}=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×QT×PR=$\frac{1}{4}$×2t×$\frac{3}{4}（8-t）$=-$\frac{3}{8}{t}^{2}$+3t，
②当$\frac{12}{5}$＜t≤6时，如图5，设PT与AB交点为E，过E作ED⊥PR于D，
由对称得：∠DPE=∠DEP=45°，
∵∠PDE=90°，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴PD=DE，
∵DE∥AC，
∴△RDE∽△RPA，
由（1）得△RPA∽△BCA，
∴△RDE∽△BCA，
∴$\frac{DR}{BC}=\frac{DE}{AC}$，
∴$\frac{DR}{6}=\frac{DE}{8}$，
∴DR=$\frac{3}{4}$DE=$\frac{3}{4}$PD，
同理得：PR=$\frac{3（8-t）}{4}$，
∴PR=DR+PD，
即$\frac{3（8-t）}{4}$=$\frac{3}{4}$PD+PD，
∴PD=DE=$\frac{3（8-t）}{7}$，
∴S=S_△PRE=$\frac{1}{2}$PR•DE=$\frac{1}{2}$×$\frac{3（8-t）}{4}$×$\frac{3（8-t）}{7}$，
∴S=$\frac{9}{56}{t}^{2}$-$\frac{18}{7}$t+$\frac{72}{7}$，
综上所述，S关于t的函数关系式为：S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{8}{t}^{2}+3t（0＜t≤\frac{12}{5}）}\\{\frac{9}{56}{t}^{2}-\frac{18}{7}t+\frac{72}{7}（\frac{12}{5}＜t≤6）}\end{array}\right.$．

点评 本题是动点问题的函数图象，考查了轴对称的性质、等腰直角三角形、相似三角形的性质和判定，综合性较强，本题的关键是能根据图2分别计算两直角边的长．