Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠ACD=∠AOC，AD⊥CD于点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB=10，AD=2，求AC的长．

Answer 1

解：（1）∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵∠AOC+∠OCA+∠OAC=180°，
∴∠AOC+2∠OCA=180°，
∴∠AOC+∠OCA=90°，
∵∠ACD=∠AOC，
∴∠ACD+∠OCA=90°，即∠DCO=90°，
又∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线；


（2）过点A作AE⊥OC，垂足为E，可得∠AEC=90°，
由（1）得∠DCO=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠D=90°，
∴四边形DCEA是矩形，又AD=2，
∴CE=AD=2，…
∵AB是直径，且AB=10，
∴OA=OC=5，
∴OE=OC-CE=5-2=3，
∴在Rt△AEO中，OA=5，OE=3，
根据勾股定理得：AE==4，
∴在Rt△ACE中，CE=2，AE=4，
根据勾股定理得：AC==2．
分析：（1）由半径OA=OC，根据等边对等角得到∠OCA=∠OAC，又根据三角形的内角和定理得到三角形AOC三个内角和等于180°，等量代换得∠AOC+2∠OCA=180°，在等式两边同时2，把∠ACD=∠AOC代入得到∠ACD与∠OCA相加为90°，可得∠DCO为90°，又OC为半径，根据切线的性质可得CD为圆O的切线；
（2）过A作AE垂直于OC，交OC于点E，再由（1）得到DC与CO垂直，且AD垂直于CD，根据垂直定义得到四边形ADCE三个角为直角，可得此四边形为矩形，根据矩形的对边相等可得AD=CE，由AD的长得到CE的长，再由直径AB的长求出半径OA的长，在直角三角形AOE中，由OA及OE的长，利用勾股定理求出AE的长，由AE及CE的长，利用勾股定理即可求出AC的长．
点评：此题考查了等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，以及切线的判定与性质，利用了转化的思想，证明切线的方法有两种：有点连接圆心与此点，证明垂直；无点作垂线，证明垂线段长等于圆的半径．