Question

如图，在△ABC中，已知BC=8，AC=4

3

，∠C=60°，在BC边上有一动点P，过P作PD∥AB，交AC于点D，则点P在BC边上某处时△APD的面积最大，最大值为

 

．

Answer 1

分析：首先根据在△ABC中，已知BC=8，AC=4

3

，∠C=60°，设AD=x，列出△APD的面积关于x的二次函数，利用配方法求得最大值，即为所求△APD的面积最大值．

解答：解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F．
设AD=x，
∵BC=8，∠C=60°
∴CE=AC•cos∠C=4

3

×

1

2

=2

3

，
∴CD=4

3

-x，
∴AE=AC•sin60°=2

3

，DF=CD•sin60°=

3

2

（4-x），
∵AB∥PD，
∴PC：BC=CD：AC，
∴PC=8-2x，
∴S_△PAD=S_△PAC-S_△PCD=

1

2

×（8-2x）×2

3

-

1

2

×（8-2x）×

3

2

（4-x），
=-

3

2

（x²-4x），
=-

3

2

（x-2）²+2

3

．
∴最大值为：2

3

．
故答案为：2

3

．

点评：本题考查三角形面积的计算、三角函数、直角三角形的性质．解决本题的关键点是证得△ABC为Rt△，从而利用三角函数建立起边间的关系；并在解题过程中转化成求二次函数的最值问题．