Question

如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm²？
（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？
（3）如果P、Q分别从A、B同时出发，△PBQ的面积能否等于8cm²？说明理由．由此思考：△PBQ的面积最多为多少cm²？

Answer 1

分析：（1）（3）根据题意表示出BP、BQ的长，再根据三角形的面积公式列方程即可；
（2）根据题意表示出BP、BQ的长，再根据勾股定理列方程即可．

解答：解：根据题意，知
BP=AB-AP=5-t，BQ=2t．
（1）根据三角形的面积公式，得

1

2

PB•BQ=4，
t（5-t）=4，
t²-5t+4=0，
解得t=1或4秒．
故1或4秒后，△PBQ的面积等于4cm²．

（2）根据勾股定理，得
PQ²=BP²+BQ²=（5-t）²+（2t）²=25，
5t²-10t=0，
∵t≠0，
∴t=2．
故2秒后，PQ的长度等于5cm．

（3）根据三角形的面积公式，得

1

2

PB•BQ=8，
t（5-t）=8，
t²-5t+8=0，
△=（-5）²-4×1×8=-7＜0．
故△PBQ的面积不能等于8cm²．
∵t（5-t）=-（t-2.5）²+6.25，
∴△PBQ的面积最多为6.25cm²．

点评：考查了一元二次方程的应用，此题要能够正确找到点所经过的路程，熟练运用勾股定理和直角三角形的面积公式列方程求解．