Question

3．如图，点C、D在线段AB上（AC＞BD），△PCD是边长为6的等边三角形，且∠APB=120°，若AB=19，则AC=9．

Answer 1

分析 根据等边三角形的性质得到PC=CD=PD=6，∠PCD=∠PDC=60°，得出∠ACP=∠PDB=120°，证出∠APC=∠B，得出△ACP∽△PDB，因此AC：PD=PC：BD，AC•BD=PD•PC=36，设AC=x，则BD=AB-AC-CD=13-x，得出方程，解方程即可．

解答 解：∵△PCD是等边三角形，
∴PC=CD=PD=6，∠PCD=∠PDC=60°，
∴∠ACP=∠PDB=120°，
∴∠A+∠APC=60°，
∵∠APB=120°，
∴∠A+∠B=60°，
∴∠APC=∠B，
∴△ACP∽△PDB，
∴AC：PD=PC：BD，
∴AC•BD=PD•PC=36，
设AC=x，则BD=AB-AC-CD=13-x，
∴x（13-x）=36，
解得：x=9，或x=4（舍去），
∴AC=9；
故答案为：9．

点评 该题考查了相似三角形的判定及其性质、等边三角形的性质及其应用等几何知识点问题；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．