Question

14．矩形ABCD中，已知A（2，1），B（6，1），D（2，4）．设双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）与矩形ABCD有两个交点．
（1）求k的取值范围；
（2）设双曲线与DC，BC的交点分别为E，F，当△AEF是直角三角形时，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据矩形性质，点与坐标的关系，由A、B、D坐标得C坐标；利用数形结合，根据反比例函数解析式，过点A，C时求出k的值，从而确定k的取值范围；
（2）利用勾股定理，即可得到k的值．

解答 解：（1）由点与坐标的关系可得：C（6，4）；
当双曲线y=$\frac{k}{x}$过A（2，1）时，k=2，
当双曲线y=$\frac{k}{x}$过C（6，4）时，k=24，
∴2＜k＜24；

（2）当8≤k＜24时，曲线y=$\frac{k}{x}$与CD，BC相交，
AF²=AB²+BF²=16+（$\frac{k}{6}$-1）²=$\frac{{k}^{2}}{36}$-$\frac{k}{3}$+17，
AE²=AD²+DE²=$\frac{{k}^{2}}{36}$-k+13，
EF²=CE²+CF²=$\frac{13}{144}$k²-$\frac{13}{3}$k+52，
当AF²=AE²+EF²时，
解得：k=16或k=24（舍去），
当AE²=AF²+EF²时，$\frac{{k}^{2}}{36}$-k+13=$\frac{{k}^{2}}{36}$-$\frac{k}{3}$+17+$\frac{13}{144}$k²-$\frac{13}{3}$k+52，
整理得，13k²-528k+8064=0，
∵△=（-528）²-4×13×8064＜0，
∴方程无解；
∴当k=16时，△AEF是直角三角形．

点评 本题主要考查了反比例函数的图象性质，勾股定理，矩形性质，利用数形结合思想是解决本题的关键．