Question

如图，正比例函数y₁=k₁x与反比例函数y₂= 相交于A、B点．已知点A的坐标为A（4，n），BD⊥x轴于点D，且S_△BDO=4．过点A的一次函数y₃=k₃x+b与反比例函数的图象交于另一点C，与x轴交于点E（5，0）．
（1）求正比例函数y₁、反比例函数y₂和一次函数y₃的解析式；
（2）结合图象，求出当k₃x+b＞＞k₁x时x的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根据△BOD的面积求出反比例函数解析式；再利用反比例函数图象上的点的特征求出A点坐标，由于正比例函数经过A点；再利用代定系数法求出正比例函数解析式；一次函数y₃=k₃x+b过点A（4，2），E（5，0），再次利用代定系数法求出一次函数解析式；
（2）点C是一次函数y₃=-2x+10与反比例函数解析式y₂=的交点，用方程-2x+10=先求出C的坐标，再求出B点坐标，最后结合图象可以看出答案．
解答：解：（1）∵S_△BDO=4．
∴k₂=2×4=8，
∴反比例函数解析式；y₂=，
∵点A（4，n）在反比例函数图象上，
∴4n=8，
n=2，
∴A点坐标是（4，2），
∵A点（4，2）在正比例函数y₁=k₁x图象上，
∴2=k₁•4，
k₁=，
∴正比例函数解析式是：y₁=x，
∵一次函数y₃=k₃x+b过点A（4，2），E（5，0），
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为：y₃=-2x+10；

（2）联立y₃=-2x+10与y₂=，
消去y得：-2x+10=，解得x₁=1，x₂=4，
另一交点C的坐标是（1，8），
点A（4，2）和点B关于原点中心对称，
∴B（-4，-2），
∴由观察可得x的取值范围是：x＜-4，或1＜x＜4．
点评：此题主要考查了待定系数法求函数解析式和图象上点的坐标，并结合图象看不等式的解，关键掌握凡是图象经过的点都能满足解析式，利用代入法即可求出解析式或点的坐标．