Question

如图，直线y=

3

4

x-3与x轴、y轴分别相交于点A、B，P是从点A出发，沿射线AO运动的一点（点P不与点A重合），过点P作PC⊥AB，垂足为C，当点C与点B重合时，点P停止运动，设AP=t．
（1）在图中画出△PCA关于直线PC对称的图形△PCD；
（2）t为何值时，点D恰好与点B重合？
（3）设△PCD与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据题意，正确的画图即可，
（2）根据图1，先求出AB，再由△PCA∽△BOA，利用相似比求出CA，列方程即可得出t．
（3）分三种情况①当0＜t≤

25

8

时②

25

8

＜t≤4时③当4＜t＜

25

4

时分别求解S与t的函数关系式即可．

解答：解：（1）正确画出图形
△PCD即为画出的△PCA关于直线PC对称的图形，



（2）如图1，由y=

3

4

x-3知，当x=0时，y=-3；当y=0时，x=4，

∴OA=3，OB=4，AB=5，
∵∠PCA=∠AOB=90°，∠PAC=∠BAO，
∴△PCA∽△BOA
∴

PC

BO

=

PA

BA

=

CA

OA

，即

PC

3

=

t

5

=

CA

4

．
∴PC=

3t

5

，CA=

4t

5

，
当点D与点B重合时，BC+CA=AB，即

4t

5

+

4t

5

=5．
∴t=

25

8

．
（3）①当0＜t≤

25

8

时，如图2，

S=

1

2

PC•CD=

1

2

•

3t

5

•

4t

5

=

6

25

t2．
②当

25

8

＜t≤4时，如图3，设PD与y轴相交于点M，

作MN⊥CD，垂足为N．
由（2）知BD=AC+CD-AB=

4t

5

+

4t

5

-5=

8t

5

-5．
∵∠BNM=∠BOA，∠MBN=∠ABO，
∴△BMN∽△BAO．
∴

BN

BO

=

MN

AO

，即MN=

4

3

BN=

4

3

（DN-BD）．
在Rt△DMN中，
tan∠MDN=tan∠OAB=

MN

DN

=

PC

AC

=

3

4

∴DN=

4

3

MN
∴MN=

4

3

（

4

3

MN-BD）
∴MN=

12

7

BD=

12

7

（

8t

5

-5）
∴S=S_△PCD-S_△BDM=

1

2

PC•CD-

1

2

BD•MN
=

6

25

t2-

1

2

（

8t

5

-5）

12

7

（

8t

5

-5）
=

342

175

t2+

96

7

t-

150

7

．
③当4＜t＜

25

4

时，如图4，

设PC与y轴相交于点E．则BC=AB-AC=5-

4

5

t同理EC=

4

3

BC=

4

3

（5-

4

5

t）
∴S=

1

2

BC•EC=

1

2

（5-

4

5

t）

4

3

（5-

4

5

t）
=

32

75

t2-

16

3

t+

50

3

．
综上，S=

6

25

t2（当0＜t≤

25

8

）；S=

342

175

t2+

96

7

t-

150

7

（

25

8

＜t≤4）；S=

32

75

t2-

16

3

t+

50

3

（4＜t＜

25

4

）．

点评：本题主要考查了一次函数的综合题，涉及相似三角形的判定与性质，解题的关键是数形结合，分类讨论的思想．