Question

（2013•宜宾）如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点E是

BD

的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．

Answer 1

分析：（1）证明△ADC∽△BAC，可得∠BAC=∠ADC=90°，继而可判断AC是⊙O的切线．
（2）根据（1）所得△ADC∽△BAC，可得出CA的长度，继而判断∠CFA=∠CAF，利用等腰三角形的性质得出AF的长度，继而得出DF的长，在Rt△AFD中利用勾股定理可得出AF的长．

解答：解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠B=∠CAD，∠C=∠C，
∴△ADC∽△BAC，
∴∠BAC=∠ADC=90°，
∴BA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线．

（2）∵△ADC∽△BAC（已证），
∴

AC

BC

=

CD

AC

，即AC²=BC×CD=36，
解得：AC=6，
在Rt△ACD中，AD=

AC2-CD2

=2

5

，
∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD，
∴CA=CF=6，
∴DF=CA-CD=2，
在Rt△AFD中，AF=

DF2+AD2

=2

6

．

点评：本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握切线的判定定理、相似三角形的性质，勾股定理的表达式．