Question

如图，?ABCD中，E，F分别是BC，AD上一点．在①BE=DF，②AE∥CF，③∠1=∠2中，请选择其中一个条件，证明AE=CF．
（1）你选择的条件是______（只需填写序号）；
（2）写出你的证明过程．

Answer 1

解法一：（1）选①．
（2）证明：∵?ABCD，
∴AB=CD，∠B=∠D．
又∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE=CF；
解法二：（1）选②．
（2）证明：∵?ABCD，
∴AD∥BC，
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE=CF；

解法三：（1）选③．
（2）证明：∵?□ABCD，
∴AB=CD，∠B=∠D．
又∵∠1=∠2，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF．
分析：根据平行四边形对边相等可得AB=CD，对角相等可得∠B=∠D，所以欲证AE=CF，只要证明AE、CF所在的△ABE和△CDF全等即可，根据选择①，利用边角边证明△ABE和△CDF全等，再根据全等三角形对应边相等得证；选择②，利用平行四边形的定义证明四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的对边相等得证；选择③，利用“角边角”证明△ABE和△CDF全等，再根据全等三角形对应边相等得证．
点评：本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，根据选择的条件不同，利用不同的方法进行证明，熟练掌握平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定方法与性质是解题的关键．