Question

如图，AB是⊙0的直径，点C、D为圆上两点，且CF⊥AB于点F，CE⊥AD交AD的延长线于点E．求证：BF=DE．

Answer 1

证明：∵（已知），
∴∠CAB=∠CAD（等弧所对的圆周角相等），CB=CD（等弧所对的弦相等）；
又∵CF⊥AB，CE⊥AD（已知），
∴CF=CE（角平分线的性质）；
∵∠CFB=∠E=90°，
∴△CBF≌△CDE（HL），
∴BF=DE（全等三角形的对应边相等）．
分析：利用圆心角、弧、弦间的关系求得∠EAC=∠BAC，再根据角平分线的性质推知CE=CF；然后由全等直角三角形的判定定理证得△CBF≌△CDE；最后由全等三角形的对应角相等可以证得结论．
点评：本题考查了圆心角、弦、弧间的关系，角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是论证同圆或等圆中弧相等、角相等及线段相等的主要依据，同时圆心角和它所对的弧的对应相等关系，又是定义1°弧的理论基础，并由此得圆心角的度数和它所对弧的度数相等．