Question

（2011•石家庄二模）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，点E从点B出发，以每秒k个单位长的速度，沿折线BA-AD-DC向点C运动；点F以每秒1个单位长的速度从点C向点B运动，点E、F同时出发同时停止．设运动时间为t秒时，△EBF的面积为y，已知y与t的函数关系如图2所示．
请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）点E运动到A、D两点时，y的值分别是

7

和

4

；
（2）求BC和CD的长；
（3）求点E的运动速度k；
（4）当t为何值时，△EBF与梯形ABCD的面积之比是1：3．

Answer 1

分析：（1）根据图2可以得到OM表示E在BA段，MN表示E在AD段，NP表示E在DC段，据此即可判断；
（2）根据E在A点和D点时，△EBF的面积分别是7和4，利用面积公式即可得到关于CD和BC的方程组，即可求得BC和CD的长；
（3）根据两个点的运动时间以及（2）中求得的运动距离，即可求得运动的速度；
（4）首先求得梯形ABCD的面积，当E在AB上时，过点E作EH⊥BC于点H，△EBH∽△ABG，根据相似三角形的对应边的比相等，即可得到关于时间的方程，从而求解．

解答：解：（1）点E运动到A、D两点时，在图2中对应的点是M，N两点，则对应的值是：7和4；
（2）当t=2.5秒时，△EBF的面积为y=

1

2

•（BC-CF）•CD=7，
即：

1

2

（BC-

5

2

）•CD=7．
当t=4秒时，△EBF的面积为y=

1

2

•（BC-CF）•CD=4，
即：

1

2

（BC-4）•CD=4．
∴

CD=4 BC=6

…6分
（3）法一：
∵BC=6，点F的速度是每秒1个单位，
∴BC=6，
∴点E从D运动到C用时为6-4=2秒，
又∵CD=4，
∴点E的运动速度为每秒2个单位．…9分
法二：如图，过点A作AG⊥BC于点G，
∵AB=2.5k，AD=1.5k，∴BG=6-1.5 k，
在Rt△ABG中，4²+（6-1.5k）²=（2.5k）²．
∴k₁=2，k₂=-6.5（不合题意舍去），
即点E的运动速度为每秒2个单位．
（4）∵k=2，∴AD=3，AB=5，∴S_△EBF=6，S_梯形ABCD=18．
由题意可知运动过程中有两个时刻△EBF的面积等于6．
①当E在AB上时，过点E作EH⊥BC于点H，
△EBH∽△ABG，
∴

BE

AB

=

EH

AG

，
∴EH=

8

5

t，
∴

1

2

×

8

5

t×（6-t）=6，解得t=

6± 6

2

，∵t≤2.5．
∴t=

6- 6

2

②当E在AD上时，

1

2

×4×（6-t）=6，解得t=3．
综上所述，当t=

6- 6

2

或t=3秒时，△EBF与梯形ABCD的面积之比为1：3．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，正确利用题目中的图形的关系，转化成方程问题求解是关键．